Sujets de colles - Corrigés
AllDérivéeRolle - AFComplexesPolynômeIntégraleÉquation différentielleSuitesRécurrenceSommesSériesSéries entièresLimiteÉquivalentsDLEspace vectorielApplications linéairesProjecteursMatricesDéterminantsDiagonalisationEspaces euclidiensGéométrie plane cartésienneCourbes paramétréesGéométrie dans l'espaceSérie de FourierProbabilités conditionnelles - indépendanceVariables aléatoires discrètesVariables aléatoires continuesVA: inégalités & estimationCouples de variables aléatoiresFonctions de plusieurs variablesRecherche libre:
Exercices corrigés de colles (ou khôlles) de mathématiques, donnés en prépa ATS et BL.
Ces exercices peuvent tout aussi intéresser des élèves d'autres filières, TSI, PCSI, PTSI, MPSI, …
Ces exercices ne sont pas forcément originaux, ce n'est pas d'ailleurs pas le but d'un sujet de colle, mais les corrections le sont.
La recherche/sélection d'exercices se fait par mot-clé, au début dans la liste ci-dessus. Ensuite chaque exercice a son propre lot de mots-clé, permettant de naviguer entre les exercices sur les notions abordées.
D'autres sujets d'exercices, de sujets de colles, de sujets d', … corrigés sur Bibm@ths et sur colles2maths.
Nombre d'exercices:
Étude d'une fonction
Étude d'une fonction
Étude d'une primitive d'une fonction
Tangentes parallèles ou concourantes
Tangente commune à une parabole et une hyperbole
Simplification d'une fonction avec arctans
Raccordement dérivable
Continuité et dérivabilité d'une composée
Théorème de Rolle - Énoncé et démonstration
Théorème de Rolle - Un contre exemple ?
Égalité des accroissements finis - Énoncé et démonstration
Accroissements finis pour un trinôme du second degré - Interprétation géométrique
Variante du théorème des accroissements finis
Limite de la dérivée d'une fonction bornée
Formule de Taylor-Young avec reste intégral - Énoncé et démonstration
Nombre de racines de la dérivée d'un polynôme
Inégalité des accroissements finis - Convergence d'une suite
Inégalité à démontrer
Nombre de racines d'un polynôme
Nombre de racines d'un polynôme (suivant la parité de son degré)
Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis
Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis
Calcul de limite avec le théorème des accroissements finis
Signe d'une fonction dont la dérivée seconde est négative
Croissance bornée d' une fonction
Encadrement accroissements finis et convergence d'une somme partielle
Encadrement accroissements finis et convergence d'une somme partielle
Bijection et expression de la réciproque
Étude de fonction, bijection et réciproque
Étude de fonction, bijection et réciproque
Fonction composée avec arcsin
Trinôme composé avec arcsin
Fonction composée avec arctan
Fonction composée avec radical, exponentielle et arcsin
Fonction avec sinus et cosinus hyperbolique
Fonction grandement simplifiable (avec fonctions trigonométriques réciproques)
Étude avec fonctions trigonométriques réciproques
Limite d'un quotient de differences
Existence d'une solution à une équation polynomiale
Égalité d'un polynôme et de l'exponentielle: finitude des solutions
Inégalités de convexité
Calculer l'intégrale …
Calculer l'intégrale …
Calculer l'intégrale …
Calculer l'intégrale …
Calculer l'intégrale …
Calculer l'intégrale …
Calculer l'intégrale …
Calculer l'intégrale …
Intégrale avec bornes variables
Calcul d'intégrale avec changement de variable
Calcul d'intégrale avec changement de variable
Calcul d'intégrale avec changement de variable
Calcul d'intégrale avec changement de variable
Calcul d'intégrale avec changement de variable
Intégrale trigonométrique
Calculer l'intégrale trigonométrique avec changement de variable
Calculer l'intégrale
Produit, logarithme et intégrales et équivalent en l'infini
Encadrements sommes et intégrales
Nature de l'intégrale …
Nature de l'intégrale …
Nature de l'intégrale …
Nature de l'intégrale …
Nature de l'intégrale …
Nature de l'intégrale …
Nature de l'intégrale …
Convergence d'une intégrale, IPP
Intégrale impropre: convergence, calcul avec changement de variable
Intégrale impropre: convergence, calcul avec changement de variable
Intégrale impropre avec une fonction bornée et changement de variable
Intégrale impropre avec exponentielles, et changement de variable
Intégrale impropre avec exponentielles, DL et changement de variable
Suite implicite définie par une intégrale impropre
Recherche de fonctions avec une propriété intégrale
Recherche de fonctions avec une propriété intégrale
Propriété de l'intégrale d'une fonction avec une symétrie
Démonstration d'une propriété intégrale
Recherche de fonctions avec une propriété intégrale
Recherche de fonctions avec une propriété intégrale
Suite definie par une integrale généralisée
Équation de droite passant par deux points et intersection de droites
Intersection de courbes: cercle et droite
Équations paramétriques de droites et intersection
Projeté orthogonal d'un point sur une droite et distance à la droite
Équation de la tangente à un cercle passant par un point donné
Tangente à un cercle passant par un point et calcul de distance
Courbe paramétrée polynomiale
"Astroïde" trigonométrique
Courbe de Lissajous
Courbe paramétrée fractions rationnelles
Courbe paramétrée fractions rationnelles
Construction d'une base orthonormale directe
Équation de plan, projeté orthogonal et distance au plan
Équation d'un plan médiateur
Représentation paramétrique de droites et droite perpendiculaire à deux autres
Système d'équations cartésiennes d'une droite passant par deux points
Équation de cercle dans l'espace
Droites coplanaires, sécantes, …
Plans dans l'espace
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants, avec conditions initiales
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Suite non bornée divergente ?
Variante du théorème de convergence monotone bornée
Limite nulle et comparaison suite géométrique
Somme géométrique
Suite arithmético-géométrique, somme des termes
Calcul d'une somme
Somme télescopique
Logarithme et produit télescopique
Logarithme, encadrements et convergence d'une somme
Logarithme, encadrements et convergence d'un produit
Suite récurrente avec une racine carrée
Convergence d'une suite définie par un encadrement
Limite d'une racine n-ième
Somme et différence de suites arithmétique et géométrique
Divergence de la série harmonique
Expression explicite d'une suite récurrente
Somme des entiers
Somme des entiers impairs
Minorer un produit
Série alternée: récurrence et convergence
Suite récurrente définie par une fonction - Inégalité des accroissements finis
Convergence de la "demi somme harmonique" - Inégalité des accroissements finis
Dérivée d'une somme géométrique
Limite exponentielle
Calcul de limite avec équivalents
Limite classique exponentielle
Limite racine n-ième du carré
Limite avec ln et équivalent
Limite avec équivalents de ln, racine et exponentielle
Parité des termes d'une suite et suite trigonométrique
Suite homographique avec un paramètre
Somme téléscopique avec une suite arithmétique
Propriété des suites arithmétiques et application
Convergence de deux suites dont le produit converge
Convergence de Série harmonique alternée
Convergence de la série exponentielle (avec une récurrence)
Convergence de la série exponentielle (avec des suites adjacentes)
Suite d'intégrales et convergence de la série harmonique alternée
Fonction et sommes composées avec arctan
Suite récurrente et fonction logarithme
Convergence de la suite de racines d'un polynôme
Suite implicite: racine d'une suite de fonctions
Convergence de sommes de type Riemann
Suite, équivalents et série
Calcul de limite en 0, avec ln
Calcul le DL à l'ordre 3
Calcul de limite
Calcul de limite: composée ln et sin
Calcul de limite en l'infini
Calcul de limite: composées de radicaux
DL, tangente et position relative
DL en 1, tangente et position relative
Série télescopique
Logarithme et série télescopique
Série presque géométrique
Calcul de sommes connaissant e
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série
Étude de la convergence de la série avec un paramètre
Lien suite et série
Suite récurrente et série
Suite récurrente et série (bis)
Encadrement suite, intégrale et convergence série
Suite et série télescopique
Séries harmonique et avec coefficients binomiaux
Séries à partir d'une suite implicite
Série multiple de e
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Rayon de convergence
Développement en série entière d'une fonction
Développement en série entière d'une fonction
Développement en série entière d'une fonction
Développement en série entière d'une fonction
Développement en série entière d'une fonction
Développement en série entière d'une fonction
Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles
Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles
Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles
Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles
Expression d'une série entière à l'aide d'une équation différentielle
Série entière presque géométrique
Série entière presque géométrique
Série entière presque géométrique
Résolution d'une équation différentielle à l'aide d'un développement en série entière
Calcul de limite avec radical
Détermination d'une limite
Détermination d'une limite
Limite d'une fraction rationnelle en un pôle
Détermination d'une limite
Détermination d'une limite
Détermination d'une limite
Détermination d'une limite
Continuité d'une fonction
Démonstration des inégalités triangulaires
Une autre inégalité triangulaire
Caractériation complexe de l'égalité triangulaire
Puissance 11-ième d'un complexe
Quelques calculs algébriques avec j
Deux équations du second degré
Équation polynomiale de degré 4
Équation polynomiale de degré 4
Un système d'équations trigonométriques
Équation polynomiale de degré 3
Factorisation d'un polynôme bicarré en facteurs réels
Équation de droite dans le plan complexe
Alignement de z, z2 et z4
Somme trigonométrique & binomiale
Somme trigo & binomiale (bis)
Somme trigo & binomiale (ter)
Intégrale trigonométrique
Somme avec racine n-ième de l'unité
Projection du plan sur un cercle
Déterminer les polynômes tels que …
Déterminer les polynômes tels que … (bis)
Déterminer les polynômes tels que … (ter)
Déterminer les polynômes tels que … (ter) et le décomposer en produits de polynômes irréductibles
Déterminer les polynômes tels que … (quater)
Racine double et division euclidienne
Polynôme définissant par une relation avec sa dérivée
Polynôme définissant par deux relations
Équation polynomiale
Décomposition en produits de polynômes irréductibles
Décomposition en produits de polynômes irréductibles (bis)
Décomposition en produits de polynômes irréductibles (ter)
Décomposition d'un polynôme de degré n
Rolle et polynômes
Rolle et polynômes
Décomposition en éléments simples
Décomposition en éléments simples (bis)
Décomposition en éléments simples (ter)
Décomposition en éléments simples et somme télescopique
Famille libre à compléter
Familles libres et génératrices
Familles libres ou non ?
Base ou non ?
Famille construite à partir de n vecteurs libres
Sous-espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Egalité de sous-espaces vectoriels et supplémentaire
Étude de deux sous-espaces vectoriels, dimensions, intersection, supplémentaires
Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R4
Réunion de deux sous-espaces vectoriels
Bases de sous-espaces vectoriels
Sous-espace vectoriel de polynômes et espace supplémentaire
Indice de nilpotence maximal dans un espace de dimension fini
Famille libre de polynômes de degrés distincts
Famille libre de polynômes de valuations distinctes
Base de polynômes
Supplémentaire de l'ensemble des fonctions affines
Sous-espaces vectoriels de suites supplémentaires
Intégrales trigonométriques et famille de fonctions trigonométriques libre
Calcul matriciel - Inverse
Calcul matriciel - Inverse
Calcul matriciel - Puissance n-ième
Calcul matriciel - Inverse d'une matrice 4x4
Matrice nilpotente et calcul d'inverse
Coefficients binomiaux, puissance n-ième et inverse
Trace de matrices symétriques
Inverse d'une matrice 2x2 par le pivot de Gauss-Jordan
Inverse d'une matrice 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan
Résolution d'un système 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan
Résolution d'un système 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan
Calcul matriciel - Sous espace vectoriel de matrices
Ensemble de matrices stable par produit
Ensemble de matrices stable par produit
Ensemble de matrices stable par produit
Suites récurrentes couplées
Théorème du rang et démonstration
Caractérisation d'une composition nulle avec image et noyau
Application linéaire ? Noyau et image ?
Application linéaire ? Noyau et image ?
Application linéaire ? Noyau et image ?
Application linéaire ? Noyau et image ?
Application linéaire sur des polynômes ? Noyau et image ?
Application linéaire sur des polynômes de degré 2 ? Noyau et image ?
Application linéaire ? Noyau et image ?
Application linéaire ? Noyau et image ?
Égalité des noyaux et images de 3 endomorphismes définis par compositions circulaires
Somme directe des noyau et image d'endomorphismes définis par compositions circulaires
Noyau d'un endomorphisme et de son carré
projecteur dans le plan
Symétrie dans le plan
Symétrie dans le plan (bis)
Projecteur composé de projecteurs
Projecteurs …
Projecteurs, noyaux et égalité d'ensemble
Projecteurs et somme directe d'images
Projecteur somme de projecteurs, noyau et image
Étude et matrice d'une application nilpotente
Endomorphisme de carré nul
Endomorphismes définis par leurs produits
Endomorphisme dérivation
Endomorphisme de polynômes
Sous-espace vectoriel noyau d'une matrice et base de vecteurs
Matrice d'une application linéaire, et changement de bases
Matrice d'une application linéaire dans des bases pas canoniques
Matrice imaginaire
Avec la trace de matrices
Calcul d'un déterminant
Calcul d'un déterminant
Calcul d'un déterminant
Calcul d'un déterminant
Calcul d'un déterminant
Calcul d'un déterminant
Calcul d'un déterminant
Calcul d'un déterminant avec paramètres
Famille libre ?
Matrice d'une application linéaire. Bijective ?
Matrice d'une application linéaire. Bijective ? Changement de base.
Application linéaire sur des polynômes.
Vrai ou Faux
Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle
Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle
Matrice inversible ? diagonalisable ?
Matrice diagonalisable ?
Racine cubique d'une matrice
Matrice avec un paramètre: diagonalisable ?
Matrice redondante diagonalisable ?
Puissance n-ième d'une matrice 2x2 symétrique
Diagonalisation d'une matrice 4x4
Diagonalisabilité à partir d'une relation sur l'endomorphisme
Endomorphisme dont le carré est l'opposé de l'identité
Matrice d'un endomorphisme sans sous-espace stable
Rang et diagonalisabilité d'une matrice nilpotente d'indice 2
Somme directe des espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétiques, et diagonalisation d'une application
Diagonalisabilité et base de polynômes propres
Diagonalisabilité d'une application linéaire entre polynomes
Système d'équations différentielles
Suites récurrentes couplées
Somme matrice plus nilpotente
Caractérisation d'un endomorphisme diagonalisable
Matrices orthogonales, antisymétriques et valeurs propres
Somme géométrique d'un endomorphisme nilpotent
Minimum de la norme d'une somme
Cauchy-Schwarz et une application
Cauchy-Schwarz et une application (bis)
Matrice d'une projection orthogonale dans l'espace
Éléments caractéristiques d'une projection orthogonale
Projections orthogonales
Endomorphisme qui conserve l'orthogonalité
Endomorphisme antisymétrique
Produit scalaire avec des polynômes, matrice de Gram, et base orthonormale
Produit scalaire avec des polynômes, base orthonormale et calcul de distance
Matrice d'une projection orthogonale - Distance à un sous-espace
Application de Cauchy-Schwarz
Minimisation d'une intégrale
Caractérisation d'une similitude
Minimisation, moindres carrés et équations normales
Décomposition en série de Fourier
Décomposition en série de Fourier
Décomposition harmonique d'un signal triangulaire
Décomposition harmonique d'une impulsion périodique
Décomposition de Fourier d'un signal périodique parabolique
Décomposition de Fourier d'une exponentielle périodique
Indépendance avec deux dés
Formule des probabilités composées
Formule des probabilités totales
Formule de Bayes
Probabilité de bonne réponse à un QCM
Probabilité d''une réunion d'événements indépendants
Fabrication de pièces dans deux ateliers
Dés pipés
Probabilité d'au moins un événement
Choix aléatoire de pâtes dans un restaurant italien
A qui sont ces lunettes ?
Trajectoire d'une guêpe
Série géométrique dérivée, loi du 1er succès et loi du nombre de succès avec des cartes
Série géométrique dérivée, loi du 1er succès et loi du nombre de succès avec une pièce
Loi géométrique est sans mémoire
Somme de 2 lois de Poisson
Espérance de l'inverse d'une loi de Poisson
Comparaison de 2 variables géométriques
Variation et maximum d'une loi de Poisson
Sur l'espérance d'une variable aléatoire
Loi normale ramenée à la loi centrée réduite
Homothétie d'une loi exponentielle
Calcul d'intégrales grâce à la loi normale
Trouver les parametres d'une loi normale
Racines d'un trinome aléatoire
Intégrale et loi normale
Exponentielle d'une loi normale
Probabilités avec une densité
Exponentielle itérées
Loi d'un produit
Fonction de répartition et nouvelle densité
Min et max de deux lois exponentielles
Logarithme d'une loi uniforme
Carré d'une loi uniforme
Série exponentielle et termes pairs d'une loi de Poisson
Racine carrée d'une loi de Pareto
Racine carrée d'une loi exponentielle
Racine carrée d'une loi exponentielle (bis)
Racine carrée d'une différence d'exponentielles
Exponentielle et logarithme
Concentration des lois uniformes
Loi exponentielle symétrique
Pannes multiples sur une machine - loi exponentielle
Sup et inf d'une loi de lois de Pareto
Produit de la densité et fonction de repartition d'une loi normale
Gain aux fléchettes
Rendez-vous à un quart d'heure près
Suite récurrente avec une densité de probabilité
Lois de Pareto et exponentielle
Espérance et fonction de répartition
Réciproque d'une fonction de répartition
Comportement asymptotique de l'espérance du max de lois exponentielles
Sur les valeurs propres d'une matrice aléatoire
Estimation pour le lancer de dé
Estimation de pièces défectueuses produites
Estimation pour la loi géométrique
Couple de variables uniformes
Couple de variables géométriques
Covariance d'un couple
Covariance d'une loi normale et de son carré
Minimum d'un couple de variables géométriques
File d'attente à un guichet
Probabilité de naissances
Deux tentatives pour joindre des correspondants
Tortues des Galapagos
Rendez-vous à la même heure
Calcul des dérivées partielles
Calcul des dérivées partielles
Système d'équations aux dérivées partielles
Maximum et maximum sur un carré
Optimisation des dimensions d'une boite
Fonction de deux variables sur un domaine borné
Discrétisation d'une équation différentielle