Limite exponentielle

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Calculer la limite de la suite: $u_n=\lp1+\dfrac{x}{n}\rp^n$ , $x\in\R$

Correction

Pour tout entier

, on a

$u_n=\lp1+\dfrac{x}{n}\rp^n =\exp\left( n\ln\left(1+\dfrac{x}{n}\rp\rp$

est un réel fixé, et $n\to+\infty$ , d'où $u=\dfrac{x}{n}\to0$ , et alors

$\begin{array}{ll} u_n&=\exp\left( n\left( u+o(u)\rp\rp\\[.5em] &=\exp\left( nu +o(nu)\rp\\[.5em] &=\exp\left( x+o(1)\rp\enar$

et la limite de $\left( u_n\rp$ lorsque $n\to+\infty$ est donc

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