Équation différentielle - 1^er ordre, coefficients non constants

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Résoudre sur $]0;+\infty[$ l'équation différentielle: $xy'-y+\ln(x)=0$ .

Correction

Soit $E: xy'-y+\ln(x)=0\iff xy'-y=-\ln(x)$ .
L'équation homogène associée est

$E_0: xy'-y=0 \iff \dfrac{y'}{y}=\dfrac1x$

et donc, en intégrant,

$y=Cx$

où

est une constante quelconque.

Pour Déterminer une solution particulière de

, on peut essayer de faire varier la constante:

et alors

$xy'-y=-\ln(x) \iff C'x=\ln(x) \iff C'=\dfrac{\ln(x)}{x}$

On peut alors directement intégrer, car

avec $u=\ln(x)$ , et donc $C=\dfrac12u^2=\dfrac12\lp\ln(x)\rp^2$ .

Les solutions de

sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,

$y(x)=x\lp\ln(x)\rp^2+Cx$

pour toute constante

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