Diagonalisation d'une matrice 4x4
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
![$A=\lp\begin{array}{cccc}5&0&-2&0\\0&5&0&-2\\-2&0&5&0\\0&-2&0&5\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex3/1.png)
-
est-elle diagonalisable ?
- Déterminer les éléments propres de
.
Correction
Correction
Soit![$A=\lp\begin{array}{cccc}5&0&-2&0\\0&5&0&-2\\-2&0&5&0\\0&-2&0&5\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex3_c/1.png)
- Le polynôme caractéristique de
est
Le polynôme caractéristique est scindé, avec deux valeurs propres:et
.
Pour savoir siest diagonalisable, il reste encore à déterminer la dimension des espaces propres associés.
- Espace propre associé à
.
Soitalors
Ainsi, l'espace propre est de dimension 2 avecavec
et
.
Espace propre associé à.
Soitalors
Ainsi, l'espace propre est aussi de dimension 2 avecavec
et
.
est donc diagonalisable dans la base
.
Tags:DiagonalisationMatrices
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