Théorème du rang et démonstration
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
Énoncer et démontrer le théorème du rang pour une application linéaire entre deux espaces
et
de dimensions finies.


Correction
une application linéaire, alors le théorème du rang énonce que
Soit
une base du noyau et
une base de l'image,
c'est-à-dire que pour tout
on a
.
Le théorème du rang est alors équivalent à montrer que la famille
![\[\mathcal{F}=\left( u_1, u_2, \dots, u_p, w_1, w_2, \dots, w_q\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/7.png)
est une base de
, c'est-à-dire est une famille génératrice et libre.
Cette famille est libre. En effet, si
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/9.png)
alors, en appliquant
, qui est linéaire, on obtient
![\[a_1f\left( u_1\rp+\dots+a_pf\left( u_p\rp+b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/11.png)
or
, …,
appartiennent au noyau de
, d'où on doit avoir
![\[\begin{array}{ll}&b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\\[.5em]
\iff&b_1v_1+\dots+b_qv_q=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/15.png)
mais comme on
est une base de l'image, en particulier cette famille est libre et on a donc nécessairement
![\[b_1=\dots=b_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/17.png)
Maintenant, en reportant ceci dans notre relation de liaison
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/18.png)
on doit donc avoir maintenant
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/19.png)
mais comme
est une base du noyau, donc en particulier est libre, on doit cette fois avoir nécessairement
![\[a_1=\dots=a_p=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/21.png)
Tous les coefficients sont donc nécessairement nuls et la famille
est donc libre.
Cette famille est aussi génératrice. Soit en effet un élément quelconque
, et en décomposant dans la base de l'image
![\[\begin{array}{ll}f(x)&=\alpha_1 v_1+\dots +\alpha_q v_q\\[.5em]
&=\alpha_1 f(w_1)+\dots +\alpha_q f(w_q)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/24.png)
Maintenant
![\[y=x-\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/25.png)
appartient au noyau de
et on peut donc écrire, sur la base du noyau
![\[y=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/27.png)
soit
![\[\begin{array}{ll}x&=y+\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\\[.5em]
&=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p+\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/28.png)
qui montre donc qu'un élément
quelconque se décompose sur la famille
qui est donc aussi génératrice.
Correction
Soit
![\[\text{rg}(f)+\dim\lp\text{Ker}(f)\rp=\dim(E)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/2.png)
Soit




Le théorème du rang est alors équivalent à montrer que la famille
![\[\mathcal{F}=\left( u_1, u_2, \dots, u_p, w_1, w_2, \dots, w_q\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/7.png)
est une base de

Cette famille est libre. En effet, si
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/9.png)
alors, en appliquant

![\[a_1f\left( u_1\rp+\dots+a_pf\left( u_p\rp+b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/11.png)
or



![\[\begin{array}{ll}&b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\\[.5em]
\iff&b_1v_1+\dots+b_qv_q=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/15.png)
mais comme on

![\[b_1=\dots=b_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/17.png)
Maintenant, en reportant ceci dans notre relation de liaison
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/18.png)
on doit donc avoir maintenant
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/19.png)
mais comme

![\[a_1=\dots=a_p=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/21.png)
Tous les coefficients sont donc nécessairement nuls et la famille

Cette famille est aussi génératrice. Soit en effet un élément quelconque

![\[\begin{array}{ll}f(x)&=\alpha_1 v_1+\dots +\alpha_q v_q\\[.5em]
&=\alpha_1 f(w_1)+\dots +\alpha_q f(w_q)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/24.png)
Maintenant
![\[y=x-\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/25.png)
appartient au noyau de

![\[y=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/27.png)
soit
![\[\begin{array}{ll}x&=y+\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\\[.5em]
&=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p+\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/28.png)
qui montre donc qu'un élément


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