Théorème du rang et démonstration
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
Énoncer et démontrer le théorème du rang pour une application linéaire entre deux espaces
et
de dimensions finies.
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang/1.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang/2.png)
Correction
une application linéaire, alors le théorème du rang énonce que
Soit
une base du noyau et
une base de l'image,
c'est-à-dire que pour tout
on a
.
Le théorème du rang est alors équivalent à montrer que la famille
![\[\mathcal{F}=\left( u_1, u_2, \dots, u_p, w_1, w_2, \dots, w_q\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/7.png)
est une base de
, c'est-à-dire est une famille génératrice et libre.
Cette famille est libre. En effet, si
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/9.png)
alors, en appliquant
, qui est linéaire, on obtient
![\[a_1f\left( u_1\rp+\dots+a_pf\left( u_p\rp+b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/11.png)
or
, …,
appartiennent au noyau de
, d'où on doit avoir
![\[\begin{array}{ll}&b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\\[.5em]
\iff&b_1v_1+\dots+b_qv_q=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/15.png)
mais comme on
est une base de l'image, en particulier cette famille est libre et on a donc nécessairement
![\[b_1=\dots=b_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/17.png)
Maintenant, en reportant ceci dans notre relation de liaison
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/18.png)
on doit donc avoir maintenant
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/19.png)
mais comme
est une base du noyau, donc en particulier est libre, on doit cette fois avoir nécessairement
![\[a_1=\dots=a_p=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/21.png)
Tous les coefficients sont donc nécessairement nuls et la famille
est donc libre.
Cette famille est aussi génératrice. Soit en effet un élément quelconque
, et en décomposant dans la base de l'image
![\[\begin{array}{ll}f(x)&=\alpha_1 v_1+\dots +\alpha_q v_q\\[.5em]
&=\alpha_1 f(w_1)+\dots +\alpha_q f(w_q)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/24.png)
Maintenant
![\[y=x-\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/25.png)
appartient au noyau de
et on peut donc écrire, sur la base du noyau
![\[y=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/27.png)
soit
![\[\begin{array}{ll}x&=y+\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\\[.5em]
&=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p+\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/28.png)
qui montre donc qu'un élément
quelconque se décompose sur la famille
qui est donc aussi génératrice.
Correction
Soit![$f:E\to F$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/1.png)
![\[\text{rg}(f)+\dim\lp\text{Ker}(f)\rp=\dim(E)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/2.png)
Soit
![$\left( u_1, u_2, \dots , u_p\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/3.png)
![$\left( v_1, v_2, \dots , v_q\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/4.png)
![$i$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/5.png)
![$v_i=f\left( w_i\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/6.png)
Le théorème du rang est alors équivalent à montrer que la famille
![\[\mathcal{F}=\left( u_1, u_2, \dots, u_p, w_1, w_2, \dots, w_q\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/7.png)
est une base de
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/8.png)
Cette famille est libre. En effet, si
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/9.png)
alors, en appliquant
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/10.png)
![\[a_1f\left( u_1\rp+\dots+a_pf\left( u_p\rp+b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/11.png)
or
![$u_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/12.png)
![$u_p$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/13.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/14.png)
![\[\begin{array}{ll}&b_1f\left( w_1\rp+\dots+b_qf\left( w_q\rp=0\\[.5em]
\iff&b_1v_1+\dots+b_qv_q=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/15.png)
mais comme on
![$\left( v_1, \dots v_2\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/16.png)
![\[b_1=\dots=b_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/17.png)
Maintenant, en reportant ceci dans notre relation de liaison
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p+b_1w_1+\dots+b_qw_q=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/18.png)
on doit donc avoir maintenant
![\[a_1u_1+\dots+a_pu_p=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/19.png)
mais comme
![$\left( u_1, \dots , u_p\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/20.png)
![\[a_1=\dots=a_p=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/21.png)
Tous les coefficients sont donc nécessairement nuls et la famille
![$\mathcal{F}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/22.png)
Cette famille est aussi génératrice. Soit en effet un élément quelconque
![$x\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/23.png)
![\[\begin{array}{ll}f(x)&=\alpha_1 v_1+\dots +\alpha_q v_q\\[.5em]
&=\alpha_1 f(w_1)+\dots +\alpha_q f(w_q)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/24.png)
Maintenant
![\[y=x-\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/25.png)
appartient au noyau de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/26.png)
![\[y=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/27.png)
soit
![\[\begin{array}{ll}x&=y+\lp\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\rp\\[.5em]
&=\beta_1u_1+\dots+\beta_pu_p+\alpha_1w_1+\dots+\alpha_qw_q\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/28.png)
qui montre donc qu'un élément
![$x\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/29.png)
![$\mathcal{F}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/demonstration-theoreme-rang_c/30.png)
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