Intégrale impropre avec une fonction bornée et changement de variable
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Soit
une fonction continue bornée sur
.


- Démontrer que les intégrales
et
sont convergentes.
- Démontrer qu'elles sont égales.
- Pour
, calculer
et
Correction
Correction
-
est bornée, ce qui signifie qu'il existe
tel que
pour tout
.
La fonctionest de plus continue sur
, et elle vérifie donc
qui est intégrable au voisinage de. L'intégrale
est ainsi convergente. De même,
est continue sur
(mais pas forcément en 0 cette fois).
Le problème ense traite exactement comme précédemment, tandis qu'en 0, le quotient reste bornée même s'il n'est pas continu:
et l'intégrale converge donc aussi en 0. - Avec le changement de variables
, on trouve
- On applique le résultat des questions précédentes avec
, qui est bien continue et bornée sur
. On trouve
En effectuant la somme de ces deux intégrales, on trouve:
On en déduit que ces deux intégrales sont à.
Tag:Intégrale
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