Résolution d'un système 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

En utilisant l'algorithme du pivot de Gauss-Jordan, résoudre le système
\[\la\begin{array}{rcrcrcc} 3x&+&y&-&z &=&4\\ 2x&-&y&+&z &=&6\\ -x&-&y&+&2z &=&6 \enar\right.\]




Correction

Correction

On écrit le système sous forme matricielle $AX=b$ avec $A=\lb\begin{array}{rrr}3&1&-1\\2&-1&1\\-1&-1&2\enar\rb$, $X=\lb\begin{array}{c}x\\y\\z\enar\rb$ et $b=\lb\begin{array}{c}4\\6\\6\enar\rb$.


Pour utiliser la méthode du pivot de Gauss-Jordan, on écrit ensuite la matrice augmentée
\[\lb\begin{array}{rrr|r}3&1&-1&4\\2&-1&1&6\\-1&-1&2&6\enar\rb\]

On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par $L_1\leftarrow\dfrac13 L_1$,
\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac13&-\dfrac13 &\dfrac43\\[.6em] 2&-1&1&6\\-1&-1&2&6\enar\rb\]

puis $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3+L_1$ pour obtenir
\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac13&-\dfrac13 &\dfrac43\\[.6em] 0&-\dfrac53&\dfrac53&\dfrac{10}3\\[.6em] 0&-\dfrac23&\dfrac53&\dfrac{22}3\enar\rb\]

on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par $L_2\leftarrow-\dfrac35L_2$
\[\lb\begin{array}{rrr|r}1&\dfrac13&-\dfrac13 &\dfrac43\\[.6em] 0&1&-1&-2\\[.6em] 0&-\dfrac23&\dfrac53&\dfrac{22}3\enar\rb\]

puis $L_3\leftarrow L_3+\dfrac23L_2$ et $L_1\leftarrow L_1-\dfrac13L_2$ pour obtenir
\[\lb\begin{array}{rrr|r} 1&0&0 &2\\[.8em] 0&1&-1 &-2\\[.8em] 0&0&1 &6\enar\rb\]

enfin, $L_2\leftarrow L_2+L_3$ donne
\[\lb\begin{array}{rrr|r} 1&0&0 &2\\[.8em] 0&1&0 &4\\[.8em] 0&0&1 &6\enar\rb\]

et on trouve donc ici la solution $X=\lb\begin{array}{c}x\\y\\z\enar\right] = \lb\begin{array}{c}2\\4\\6\enar\rb$


Tag:Matrices

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