Symétrie dans le plan


Colle de mathématiques

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L'application $f:\R^2\to\R^2$, $(x,y)\mapsto(x+3y,-y)$ est-elle une projection ou une symétrie ? Préciser ses caractéristiques.


Correction

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$f$ est tout d'abord une application linéaire puisque pour $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$ dans $\R^2$, et $\lambda\in\R$, on a $u+v=(x+x',y+y')$ et:
\[\begin{array}{lcl} f(u+v)&=&\bigr( (x+x')+3(y+y'), -(y+y')\bigl)\\[.4em] &=&\big(x+3y+x'+3y', -y-y'\bigr)\\[.4em] &=&(x+3y,-y)+(x'+3y', -y')\\[.4em] &=&f(u)+f(v). \enar\]

et avec $\lambda u=(\lambda x,\lambda y)$,
\[\begin{array}{lcl} f(\lambda u)&=&(\lambda x+3\lambda y, -\lambda y)\\[.4em] &=&\bigl(\lambda(x+3y),-\lambda y\bigr)\\[.4em] &=&\lambda(x+3y,-y)\\[.4em] &=&\lambda f(u). \enar\]

Ainsi, $f$ est un endomorphisme de $\R^2$.

Un projecteur et une symétrie sont caractérisés par $f\circ f$: soit $f\circ f=f$ et alors $f$ est un projecteur, soit $f\circ f=Id$ et $f$ est une symétrie.
Ici, pour $u=(x,y)$, on a $f(u)=(x+3y,-y)=(X,Y)$ puis,
\[\begin{array}{ll}f^2(u)&=f(f(u))\\[.3em] &=f(X,Y)\\[.3em] &=f(X+3Y,-Y)\\[.3em] &=\bigl((x+3y)+3\tm(-y),-(-y)\bigr)\\[.3em] &=(x,y)\\[.3em] &=f(u)\enar\]

ce qui montre donc que $f$ est donc une symétrie.
L'axe de la symétrie est invariant par $f$, soit $f(x,y)=(x,+y)$ donc
\[\la\begin{array}{rcl}x+3y&=&x\\-y&=&y\enar\right.\]

ce qui nous donne $y=0$, équation de la droite dans le plan $\R^2$ qui est l'axe de la symétrie, ou encore, en d'autres termes $f$ est une symétrie d'axe $F=\text{Vect}\bigl((1,0)\bigl)$.

La direction $G$ est donnée par la relation $f(u)=-u$, soit, avec $u=(x,y)$,
\[\la\begin{array}{rcl}x+3y&=&-x\\-y&=&-y\enar\right.\]

qui donne cette fois $y=0$, et donc $G=\text{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$.


Tags:ProjecteursApplications linéaires

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