Convergence de la série exponentielle (avec une récurrence)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SuitesSuites
- RécurrenceDémonstration par récuurrence
- SommesSommes des termes d'une suite
- LimiteLimites de suites et de fonctions
Énoncé du sujet
Soit la suite définie par
.
- Montrer que pour .
En déduire que est majorée par 3. - Montrer que converge.
Correction
Correction
- On peut démontrer cette propriété par récurrence.
Pour , et , et la propriété est donc vraie initialement.
Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang , c'est-à-dire que .
On a alors, au rang suivant, .
Or, pour , , et donc, .
La propriété est ainsi encore vraie au rang .
D'après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier .
On a alors,
- Enfin, comme , donc que la suite est (strictement) croissante, et majorée d'après la question précédente, on en déduit qu'elle est convergente vers un réle .
Tags:SuitesRécurrenceSommesLimite
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