Rendez-vous à la même heure

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Couples de variables aléatoiresCouples de variables aléatoires

Énoncé du sujet

Clément et Amélie se donnent rendez-vous devant une salle de concert entre 19h et 20h. Leurs instants d'arrivée après 19h sont indépendants et assimilés à une loi uniforme sur

. Chacun attend jusqu'à un quart d'heure que l'autre arrive, puis rentre dans la salle. Quelle est la probabilité qu'ils entrent ensemble dans la salle de concert?

Correction

On note

la variable aléatoire "instant d'arrivée de Clément" et

la variable aléatoire "instant d'arrivée d'Amélie", on cherche la probabilité pour que $|X-Y|\leqslant1/4$ .

Méthode graphique:

suit une loi uniforme sur le carré $K=[0,1]\times[0,1]$ . La probabilité recherchée est donc

$P\lp\left|X-Y\right|\leqslant1/4\right) =\dfrac{\textrm{aire}\lp\Bigl\{(x,y)\in K;\ |x-y|\leqslant1/4\Bigr\}\right)}{\text{aire}(K)}$

On a $\left|x-y\right|\leqslant1/4\iff y-1/4\leqslant x\leqslant y+1/4$ .
Ainsi,

pour , on a donc $0\leqslant x\leqslant y+1/4$
pour , on a donc $y-1/4\leqslant x\leqslant 1$
pour , on a $y-1/4\leqslant x\leqslant y+1/4$ .

On trace alors les droites limites

, et le domaine concerné:

$\psset{unit=4cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-.2,1.2)(-.2,1.2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,.25)(0,0)(.25,0)(1,.75)(1,1)(.75,1) \psline{->}(-.2,0)(1.2,0) \psline{->}(0,-.2)(0,1.2) \rput(1,-.1){1} \rput(-.05,1){1} \rput(-.05,.25){$\frac14$} \rput(.25,-.1){$\frac14$} \rput(-.05,-.1){0} \psplot{0}{.75}{x .25 add} \psplot{.25}{1}{x .25 sub} \psline(1,0)(1,1)(0,1) \rput(-.05,.75){$\frac34$}\psline[linestyle=dashed](0,.75)(1,.75) \rput(.75,-.1){$\frac34$}\psline[linestyle=dashed](.75,0)(.75,1) \end{pspicture}$

L'aire du carré

vaut 1.
L'aire de chaque triangle rectangle au dessous et au dessus du domaine est

$\dfrac12\tm\dfrac34\tm\dfrac34=\dfrac9{32}$

et alors, l'aire, et la probabilité, recherchées sont donc

$p=1-2\tm\dfrac9{32}=\dfrac{14}{32}=\dfrac7{16}$

Méthode analytique
On rappelle de plus que la densité d'une variable aléatoire uniforme sur

est

$f(x)=\la\begin{array}{ll}0 &\text{ si } x<0 \\ 1 &\text{ si } 0<x<1\\ 0 &\text{ si } x>1\enar\right.$

De même que dans la méthode précédente, on cherche la probabilité de l'événement

$\left|X-Y\right|<1/4\iff Y-1/4\leqslant X\leqslant Y+1/4$

Ainsi,

pour , on a donc $0\leqslant Y\leqslant Y+1/4$
et on a alors la probabilité

$P\lp0\leqslant X<Y+1/4\rp=\dsp\int_0^{Y+1/4}1\,dx=Y+1/4$

et donc la probabilité pour tous les :

$\begin{array}{ll} \dsp\int_0^{1/4}\left( y+1/4\rp\,dy &=\Bigl[\dfrac12y^2+\dfrac14y\Bigr]_0^{1/4}\\[1.1em] &\hspace{-3em}=\dfrac12\lp\dfrac14\rp^2+\dfrac14\tm\dfrac14=\dfrac3{32} \enar$
pour , on a donc $Y-1/4\leqslant X\leqslant 1$
et on a alors la probabilité

$P\left( Y-1/4\leqslant X<1\rp=\dsp\int_{Y-1/4}^11\,dx=1-\left( Y-1/4\rp=-Y+5/4$

et donc la probabilité pour tous les :

$\begin{array}{ll} \dsp\int_{3/4}^1\left( -y+5/4\rp\,dy &=\Bigl[-\dfrac12y^2+\dfrac54y\Bigr]_{3/4}^1\\[1.2em] &\hspace{-5em}=\lp-\dfrac12+\dfrac54\right) -\lp-\dfrac12\lp\dfrac34\rp^2+\dfrac54\tm\dfrac34\rp =\dfrac3{32} \enar$
Enfin, pour , on a $Y-1/4\leqslant X\leqslant Y+1/4$ .
et on a la probabilité

$\int_{Y-1/4}{Y+1/4}1\,dx=\dfrac12$

et donc la probabilité pour tous les ,

$\int_{1/4}^{3/4}\dfrac12\,dy=\dfrac14$