Diagonalisabilité à partir d'une relation sur l'endomorphisme
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
Énoncé du sujet
Soit tel que
.
- Montrer que .
- Montrer que .
Indication: on pourra utiliser la décomposition
Que peut-on en conclure ?
Correction
Correction
- Soit , et tel que
.
On a alors, d'une part
et d'autre part
On doit donc n'écessairement avoir
soit, puisque ,
et donc, en résolvant cette équation du second degré, on trouve que ou .
On a donc bien trouvé la condition nécessaire
c'est-à-dire l'inclusion
- On a directement que si ,
alors et à la fois et donc,
.
Réciproquement, si , on a évidemment et donc .
Ainsi, on a montré que .
Il reste à montrer la somme .
Soit alors, en utilisant l'indication, on écrit
avec, en utilisant la relation ,
ce qui montre que .
On a de même car
On a donc montré que pour tout , on a avec et , c'est-à-dire que .
Finalement, on a bien montré que .
On déduit enfin de ce qui précède que est diagonalisable.
Tag:Diagonalisation
Autres sujets au hasard:
Voir aussi: