Diagonalisabilité à partir d'une relation sur l'endomorphisme

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes

Énoncé du sujet

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que

Montrer que $Sp(u)\subset\la1;2\ra$ .
Montrer que $E_1\oplus E_2=E$ .
Indication: on pourra utiliser la décomposition
Que peut-on en conclure ?

Correction

Soit $\lambda\in Sp(u)$ , et $x\not=0$ tel que $u(x)=\lambda x$ .
On a alors, d'une part

$u^2(x)=u\lp\lambda x\rp=\lambda u(x)=\lambda^2x$

et d'autre part

$u^2(x)=(3u-2id)(x)=3\lambda x-2x$

On doit donc n'écessairement avoir

$\lambda^2x=3\lambda x-2x\iff \lp\lambda^2-3\lambda +2\right) x=0$

soit, puisque $x\not=0$ ,

$\lambda^2-3\lambda+2=0$

et donc, en résolvant cette équation du second degré, on trouve que $\lambda=1$ ou $\lambda=3$ .
On a donc bien trouvé la condition nécessaire

$\lambda\in Sp(u)\longrightarrow \lambda\in\la 1;2\ra$

c'est-à-dire l'inclusion

$Sp(u)\subset\la1;3\ra$
On a directement que si $x\in E_1\cap E_2$ , alors et à la fois et donc, $x=2x\iff x=0$ .
Réciproquement, si , on a évidemment $u(0)=0=2\tm0$ et donc $x=0\in E_1\cap E_2$ .
Ainsi, on a montré que $E_1\cap E_2=\la0\ra$ .

Il reste à montrer la somme .
Soit $x\in E$ alors, en utilisant l'indication, on écrit

$id(x)=x=\underbrace{(u-id)(x)}_{y_1}\quad\underbrace{-\ (u-2id)(x)}_{y_2}$

avec, en utilisant la relation ,

$\begin{array}{ll} u(y_1)&=u\lp(u-id)(x)\rp\\[.4em] &=u^2(x)-u(x)\\[.4em] &=3u(x)-2id(x)-u(x)\\[.4em] &=2u(x)-2id(x)\\[.4em] &=2(u-id)(x)=2y_1\enar$

ce qui montre que $y_1\in E_2$ .

On a de même $y_2\in E_1$ car

$\begin{array}{ll} u(y_1)&=u\lp-(u-2id)(x)\rp\\[.4em] &=-u^2(x)+2u(x)\\[.4em] &=-3u(x)+2id(x)+2u(x)\\[.4em] &=-u(x)+2id(x)\\[.4em] &=-(u-2id)(x)=y_2\enar$

On a donc montré que pour tout $x\in E$ , on a avec $y_1\in E_1$ et $y_2\in E_2$ , c'est-à-dire que .

Finalement, on a bien montré que $E=E_1\oplus E_2$ .

On déduit enfin de ce qui précède que est diagonalisable.

Tag:Diagonalisation

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