Racine cubique d'une matrice

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
MatricesMatrices

Énoncé du sujet

Soit $A=\lp\begin{array}{cc}-5&3\\6&-2\enar\rp$ . Montrer que

est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
En déduire qu'il existe une matrice

telle que

Correction

On commence par rechercher les valeurs propres pour diagonaliser cette matrice.

Avec le polynôme caractéristique:
$P_A(\lambda)=\det\left( \lambda I-A\right) =\left|\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\right| =(\lambda+5)(\lambda+2)-18$
1 et racine évidente, et on on a alors la factorisation

$P_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+8)$

qui montre que le polynôme cacactéristique admet deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier, que

est diagonalisable.

Il existe donc une matrice de passage inversible

telle que $A=PDP^{-1}$ , avec

$D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-8\enar\rp$

On trouve facilement une racine cubique de cette dernière:

$B=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&-2\enar\rp$

est bien telle que

.
Maintenant, la matrice

définie par

$M=PBP^{-1}$

vérifie

$M^3=PB^3P^{-1}=PDP^{-1}=A$

Avec un calcul de rang: $\lambda$ est une valeur propre lorsque $r=\text{rg}\lp\lambda I-A\rp<2$ , soit

$r=\lp\lambda I-A\right) =\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-6&\lambda+2\enar\rp$

soit, avec l'opération $L_2\leftarrow3L_2+(\lambda+2)L_1$ ,

$r=\lp\begin{array}{cc}\lambda+5&-3\\-18+(\lambda+2)(\lambda+5)&0\enar\rp$

On cherche donc les racines du trinôme du second degré $P(\lambda)=(\lambda+5)(\lambda+2)-18$ qui sont 1 (évidente) et -8.
Ainsi, il y a deux valeurs propres distinctes et donc, en particulier,