Somme géométrique d'un endomorphisme nilpotent


Oral ESCP, BL - 2021
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 2 et soit u un endomorphisme non nul de $E$ pour lequel il existe un entier naturel $p\geqslant2$ tel que $u^p = 0$ et $u^{p-1}\not=0$.
  1. Déterminer les valeurs propres de $u$. L'endomorphisme u est-il diagonalisable ?
  2. Soit $q$ un entier vérifiant $0\leqslant q\leqslant p-1$ et $x\in E$ tel que $u^q (x)\not= 0$.
    Justifier l'existence d'un tel vecteur $x$. Montrer que la famille $(x, u(x), . . . , u^q (x))$ est une famille libre de $E$.
  3. On note $Id$ l'endomorphisme identité de $E$ et soit $v$ l'endomorphisme de $E$ défini par:
    \[v = Id + u + \dfrac{u^2}{2!} + \dots + \dfrac{u^{p-1}}{(p-1)!}\]

    Montrer que $v$ est bijectif.
  4. Déterminer un lien entre $\ker(u)$ et $\ker(v-Id)$.
  5. En déduire les valeurs propres de $v$. L'endomorphisme $v$ est-il diagonalisable ?

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