Somme géométrique d'un endomorphisme nilpotent
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
Énoncé du sujet
Oral ESCP, BL - 2021
Soit
un
-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 2 et soit u un endomorphisme non nul de
pour lequel il existe un entier naturel
tel que
et
.
Soit






- Déterminer les valeurs propres de
. L'endomorphisme u est-il diagonalisable ?
- Soit
un entier vérifiant
et
tel que
.
Justifier l'existence d'un tel vecteur. Montrer que la famille
est une famille libre de
.
- On note
l'endomorphisme identité de
et soit
l'endomorphisme de
défini par:
Montrer queest bijectif.
- Déterminer un lien entre
et
.
- En déduire les valeurs propres de
. L'endomorphisme
est-il diagonalisable ?
Correction
Correction
Oral ESCP, BL - 2021- Soit
, avec
non nul, alors, en appliquant
on a
, puis, en réitérant,
. Or, par définition,
, d'où nécessairement
, et comme
non nul, on en déduit que
c'est-à-dire que
.
La seule valeur propre possible deest donc 0.
Maintenant siétait diagonalisable,
serait semblable (ou sa matrice) à l'endomorphisme nul (ou la matrice nulle), et donc
serait nul, ce qui est impossible par hypothèse.
Ainsi,n'est pas diagonalisable.
- Supposons que pour tout entier
on ait
, c'est-à-dire
, alors si
c'est contraire à la définition de
car
, si
, en appliquant
fois on obtiendrait
ce qui est de même absurde.
En résumé, il existe nécessairement untel que
.
Soit alors,
, …,
des réels tels que
En appliquanttous les termes s'annulent sauf le premier et on obtient alors
et donc, comme, on en tire que
.
En appliquant de même alorsà la relation, on obtient de même que
et ainsi de suite pour tous les coefficients
.
On trouve ainsi queet donc que cette famaille est libre.
- On peut d'intéresser au noyau de
. Soit
, alors
On se ramène alors alors à la question précédente: soitle plus grand entier tel que
, ce qui permet de tronquer la relation précédente en
Maintenant, comme à la question précédente, en appliquant, tous les termes sauf le premier s'annulent, et on obtient
et donc nécessairement, par définition de l'entier, on obtient
.
On a donc trouvé queet donc que
est inversible.
- On a
et donc sialors aussi
, d'où
Réciproquement, soit, c'est-à-dire que
et donc
Soit, soit on peut, à nouveau, définir
le plus petit entier tel que
, en appliquant
fois l'endomorphisme
, tous les termes sauf le premier s'annulent et on obtient
ce qui est alors absurde. On en déduit que nécessairementet donc que
Finalement, on a bien montré que
- Soit
une éventuelle valeur propre de
, c'est-à-dire que
et donc, d'après la définition de
,
Si, alors avec le même raisonnement qu'utilisé (plusieurs fois) précédemment on obtient une contradiction sur la liberté de la famille
.
La seule valeur propre possible est donc, et donc
ne peut pas être diagonalisable car si
l'était, il serait semblable à l'identité, donc égal à l'identité, et donc
serait nul tout comme
car alors on aurait
.
Tag:Diagonalisation
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