Sous-espace vectoriel noyau d'une matrice et base de vecteurs
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
.
On pose
.
![$A=\lp\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevker/1.png)
![$K=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} V\in\R^3 / AV=0\ra$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevker/2.png)
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
.
Donner un vecteur non nulde
.
- On note
la base canonique de
, et
et
.
Montrer queest une base de
.
Correction
.
On pose
.
Correction
Soit![$A=\lp\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevker_c/1.png)
On pose
![$K=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} V\in\R^3 / AV=0\ra$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exsevker_c/2.png)
- Soit
et
, et deux réels
et
, alors
, et donc
, ce qui montre que
est un sous-espace vectoriel de
.
Soit, alors
On peut donc choisir.
-
et
Pour montrer queest une base de
, il suffit de montrer que c'est une famille libre.
Soit,
et
trois réels tels que
, ce qui montre que la famille est libre et est donc une base.
Tags:Espace vectorielMatrices
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