Sous-espace vectoriel noyau d'une matrice et base de vecteurs

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit $A=\lp\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\enar\rp$ . On pose $K=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} V\in\R^3 / AV=0\ra$ .

Montrer que est un sous-espace vectoriel de $\R^3$ .
Donner un vecteur non nul de .
On note $\mathcal{B}=\left( E_1;E_2;E_3\rp$ la base canonique de $\R^3$ , et et .
Montrer que $\left( V_0; V_1;V_2\rp$ est une base de $\R^3$ .

Correction

Soit $A=\lp\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\enar\rp$ .
On pose $K=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} V\in\R^3 / AV=0\ra$ .

Soit $V_1\in K$ et $V_2\in K$ , et deux réels $\alpha$ et $\beta$ , alors $A\lp\alpha V_1+\beta V_2\rp=\alpha AV_1+\beta AV_2=\alpha\tm0+\beta\tm0=0$ , et donc $\lp\alpha V_1+\beta V_2\rp\in K$ , ce qui montre que est un sous-espace vectoriel de $\R^3$ .
Soit $V_0\lp\begin{array}{c}x\\y\\z\enar\rp\in K$ , alors $AV_0=0\iff \la\begin{array}{ll}-2x-4z=0\\3y=0\\2x+4y=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-2z\\y=0\enar\right.$
On peut donc choisir $V_0=\lp\begin{array}{c} -2\\0\\1\enar\rp$ .
$V_1=AE_1=A\lp\begin{array}{c}1\\0\\0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}-2\\0\\2\enar\rp$ et $V_1=AE_1=A\lp\begin{array}{c}0\\1\\0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}0\\3\\0\enar\rp$
Pour montrer que $\left( V_0; V_1;V_2\rp$ est une base de $\R^3$ , il suffit de montrer que c'est une famille libre.
Soit , et trois réels tels que $aV_0+bV_1+cV_2=0\iff \la\begin{array}{ll} -2a-2b=0\\3c=0\\a+2b=0\enar\right. \iff a=b=c=0$ , ce qui montre que la famille est libre et est donc une base.

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