Encadrement accroissements finis et convergence d'une somme partielle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
- SommesSommes des termes d'une suite
Énoncé du sujet
- Montrer que, pour tout entier naturel, on a
- En déduire un encadrement de la somme
- Montrer que la suite
est convergente et déterminer sa limite.
Correction
Correction
- En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction
sur l'intervalle
, il existe
dans
tel que
soit alors, comme
- On a donc d'une part que
et donc, en sommant deà
,
D'autre part, en remplaçantpar
dans l'inégalité de gauche de la question précédente,
et en sommant deà
,
En résumé, on a obtenu l'encadrement
- La suite
est bornée d'après ce qui précède, comme
:
On pense donc à étudier son sens de variation:
ce qui montre queest strictement croissante.
Comme elle est de plus bornée, donc majorée, elle est convergente vers une limite.
Enfin, en passant à la lmite dans l'encadrement de, on peut dire que
Tags:Rolle - AFSommes
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