Étude de la convergence de la série

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Étudier la convergence de la série de terme général $u_n=\ln\lp\dfrac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\rp$

Correction

On peut écrire, (avec l'idée d'une décomposition en éléments simples, ou au moins de décomposer la partie entière),

$\begin{array}{ll}u_n&=\ln\lp\dfrac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\rp\\[1.2em] &=\ln\lp\dfrac{n^2+n-1}{n^2+n-1}+\dfrac{2}{n^2+n-1}\rp\\[1.2em] &=\ln\lp1+\dfrac{2}{n^2+n-1}\right) \enar$

et, comme en 0 on a $\ln(1+u)\sim u$ et que $\dfrac{2}{n^2+n-1}\to0$ , donc

$u_n\sim\dfrac{2}{n^2+n-1}\sim\dfrac2{n^2}$

qui est le terme général d'une série de Riemann convergente, et la série est donc convergente.

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