Avec la trace de matrices


Oral ESCP, BL - 2021
Dans cet exercice, $n$ est un entier supérieur ou égal à 2 et $E =\mathcal{M}_n(\R)$.
Pour toute matrice $A=(a_{i,j})$, on pose $tr(A)=\dsp\sum_{i=1}^na_{i,i}$.
    1. Montrer que l'application $tr : A \to tr(A)$ est linéaire.
    2. Montrer que $tr(A) = tr( ^t\!A)$.

    Dans la suite de l'exercice, on note:
    \[S_n(\R)=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} M\in\mathcal{M}_n(\R) / M=\, ^t\!M\ra\]

    et
    \[A_n(\R)=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} M\in\mathcal{M}_n(\R) / M= -^t\!M\ra\]

  1. Montrer que $A_n(\R)$ et $S_n(\R)$ sont supplémentaires dans $E$.
    Pour $A$ de $E$, on note $\Delta_A = \left\{}\newcommand{\ra}{\right\} M\in E / M + ^t\!M = tr(M)A\ra$.
  2. Montrer que $\Delta_A$ est un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $A_n(\R)\subset\Delta_A$.
  3. Soit $M\in\Delta_A$. Montrer que $2tr(M)=tr(M) tr(A)$.
  4. Déterminer $\Delta_A$ en discutant suivant les valeurs de $tr(A)$.

Correction


Tags:MatricesEspace vectoriel

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