Somme téléscopique avec une suite arithmétique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique ne s'annulant pas.
  1. Montrer que, pour tout entier $n$, $\dfrac{r}{u_nu_{n+1}}=\dfrac1{u_n}-\dfrac1{u_{n+1}}$.
  2. Montrer alors que, pour tout entier $n$, $\dsp\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{u_ku_{k+1}}=\dfrac{n+1}{u_0u_{n+1}}$



Correction

Correction

  1. On a, pour tout entier $n$, $\dfrac1{u_n}-\dfrac1{u_{n+1}}=\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_nu_{n+1}} =\dfrac{r}{u_nu_{n+1}}$, car $u_{n+1}=u_n+r$ comme $\left( u_n\rp$ est arithmétique de raison $r$.
  2. On a alors, $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{u_ku_{k+1}} =\dfrac1r\sum_{k=0}^n\lp\dfrac1{u_n}-\dfrac1{u_{n+1}}\rp$
    Il s'agit d'une somme télescopique:
    \[\sum_{k=0}^n\lp\dfrac1{u_n}-\dfrac1{u_{n+1}}\right) =\lp\dfrac1{u_0}-\dfrac1{u_{1}}\right) +\lp\dfrac1{u_1}-\dfrac1{u_{2}}\right) +\dots +\lp\dfrac1{u_n}-\dfrac1{u_{n+1}}\right) =\dfrac1{u_0}-\dfrac1{u_{n+1}}\]

    Ainsi
    \[S_n=\dfrac1r\lp\dfrac1{u_0}-\dfrac1{u_{n+1}}\right) \dfrac1r\dfrac{u_{n+1}-u_0}{u_0u_{n+1}}\]

    et comme $\left( u_n\rp$ est toujours géométrique: $u_{n+1}=u_0+(n+1)r$ d'où le résultat recherché.


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