Base ou non ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
On se place dans un espace vectoriel de dimension 3 dont une base est 
.
La famille
est-elle une base de 
?
La famille
est-elle une base de 
?
Et la famille
?
.La famille
est-elle une base de ?La famille
est-elle une base de ?Et la famille
?
Correction
a une base formée de trois vecteurs. Il est donc de dimension 3.
La famille
n'est formée que de deux vecteurs, et donc
et cette famille ne peut pas être génératrice de 
. En particulier, cette famille ne peut pas être une base.
Les deux autres familles possèdent le bon nombre de vecteurs pour former une base de
, encore faut-il qu'elles soient libres.
Pour le vérifier, on considère une combinaison linéaire nulle des vecteurs de
:
![\[a(x_1+x_2)+b(x_2+x_3)+c(x_3+x_1)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exbases_c/7.png)
Cette combinaison linéaire s'écrit aussi en réordonnant
![\[(a+c)x_1+(a+b)x_2+(b+c)x_3)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exbases_c/8.png)
Comme la famille
est libre (car c'est une base), cette dernière combinaison linéaire est nulle si et seulement si
![\[\la\begin{array}{rcrcl}
a&+&c&=&0\\
a&+&b&=&0\\
b&+&c&=&0\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exbases_c/10.png)
En soustrayant les deux premières équations on trouve
, puis de même avec les deux dernières on trouve 
. Ainsi 
et alors la première équation s'écrit 
soit 
et donc finalement 
.
On vient donc de montrer que la famille
est libre et qu'elle forme donc aussi une base de 
.
On procède de même pour la troisième famille, soit trois coefficients
, 
et 
qui annulent la combinaison linéaire:
![\[ax_1+b(x_1+x_2)+c(x_1+x_2+x_3)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exbases_c/22.png)
soit aussi, en réordonnant,
![\[(a+b+c)x_1+(b+c)x_2+cx_3=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exbases_c/23.png)
et comme famille
est libre (car c'est une base), cette dernière combinaison linéaire nulle implique nécessairement que
![\[\la\begin{array}{rcrcrcl}
a&+&b&+&c&=&0\\
&&b&+&c&=&0\\
&&&&c&=&0\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exbases_c/25.png)
Ce système triangulaire se résout très facilement en commençant par la dernière équation, et on trouve que
.
Ainsi, la famille
est libre et c'est donc une base de 
Correction
L'espace a une base formée de trois vecteurs. Il est donc de dimension 3.
La famille
n'est formée que de deux vecteurs, et donc
et cette famille ne peut pas être génératrice de . En particulier, cette famille ne peut pas être une base.
Les deux autres familles possèdent le bon nombre de vecteurs pour former une base de
, encore faut-il qu'elles soient libres.
Pour le vérifier, on considère une combinaison linéaire nulle des vecteurs de
:
Cette combinaison linéaire s'écrit aussi en réordonnant
Comme la famille
est libre (car c'est une base), cette dernière combinaison linéaire est nulle si et seulement si
En soustrayant les deux premières équations on trouve
, puis de même avec les deux dernières on trouve . Ainsi et alors la première équation s'écrit soit et donc finalement .
On vient donc de montrer que la famille
est libre et qu'elle forme donc aussi une base de .
On procède de même pour la troisième famille, soit trois coefficients
, et qui annulent la combinaison linéaire:
soit aussi, en réordonnant,
et comme famille
est libre (car c'est une base), cette dernière combinaison linéaire nulle implique nécessairement que
Ce système triangulaire se résout très facilement en commençant par la dernière équation, et on trouve que
.
Ainsi, la famille
est libre et c'est donc une base de
Tag:Espace vectoriel
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