Convergence de la série exponentielle (avec des suites adjacentes)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit la suite
définie par
.
On souhaite montrer que
est une suite convergente.
On pose
.
Montrer que ces suites sont adjacentes et conclure.



On pose

Montrer que ces suites sont adjacentes et conclure.
Correction
ce qui montre que
.
Par ailleurs, d'une part,
et donc
est croissante.
D'autre part,
pour
,
ce qui montre que
est décroissante.
Ce qui précède montre que les suites
et
sont adjacentes et convergent donc
vers la même limite
.
Ainsi, en particulier
est convergente.
Correction
On a directement

Par ailleurs, d'une part,


D'autre part,



Ce qui précède montre que les suites



Ainsi, en particulier

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