Convergence de la série exponentielle (avec des suites adjacentes)


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dsp\sum_{k=0}^n \dfrac1{k!}$. On souhaite montrer que $(u_n)$ est une suite convergente.
On pose $v_n=u_n+\dfrac1{n!}$.
Montrer que ces suites sont adjacentes et conclure.


Correction

Correction

On a directement $v_n-u_n=\dfrac1{n!}$ ce qui montre que $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n-u_n=0$.
Par ailleurs, d'une part, $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)!}>0$ et donc $\left( u_n\rp$ est croissante.
D'autre part, $v_{n+1}-v_n=u_{n+1}-u_{n}+\dfrac1{(n+1)!}-\dfrac1{n!} =\dfrac{2-(n+1)}{(n+1)!} =\dfrac{1-n}{(n+1)!}\leqslant0$ pour $n\geqslant1$, ce qui montre que $\left( v_n\rp$ est décroissante.

Ce qui précède montre que les suites $\left( u_n\rp$ et $\left( v_n\rp$ sont adjacentes et convergent donc vers la même limite $l$.
Ainsi, en particulier $\left( u_n\rp$ est convergente.


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