Recherche de fonctions avec une propriété intégrale

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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Énoncé du sujet

Déterminer l'ensemble des fonction $f:\R\to\R$ dérivables vérifiant

$\forall (x,y) \in \R^2, \int_{x}^y f(t) dt = \dfrac{y-x}{2} (f(x)+f(y))$

Correction

Oral ENS ULM - 2019

On appelle

la relation de l'énoncé:

$\forall (x,y) \in \R^2, \int_{x}^y f(t) dt = \dfrac{y-x}{2} (f(x)+f(y))$

Interprétation graphique de

dans le cas où

est positive et

: l'intégrale est "l'aire sous la courbe", tandis que le membre de droite est l'aire du trapèze hachuré en rouge:

$\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-1,-.5)(5,4) %D\'efinition de la fonction: \nwc{\f}[1]{ #1 1.6 mul 180 mul 3.14 div sin #1 div #1 add 1 add 0.8 mul} %D\'efinition du domaine hachur\'e: \pscustom{ \psplot{-1.}{3}{\f{x}} \gsave \psline(3,0)(-1,0) %\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] \fill[fillstyle=vlines,hatchsep=10pt,hatchwidth=1.pt,hatchcolor=blue] \grestore } %On retrace la courbe par dessus: \psplot[linewidth=1pt]{-1.2}{3.2}{\f{x}} \put(3.1,3.3){$\mathcal{C}_f$} \psline[linewidth=1pt]{->}(-2,-0.4)(-2,4) \psline[linewidth=1pt]{->}(-2.5,0)(5,0) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed] (-1,-0.2)(!-1 \space \f{-1})(!-2 \space \f{-1}) \rput(-1,-0.5){$x$}\rput[r](-2.2,.8){$f(x)$} \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed] (3,-0.2)(!3 \space \f{3})(!-2\space\f{3}) \rput(3,-0.5){$y$}\rput[r](-2.2,3){$f(y)$} % et le trap\`eze \pscustom{ \psline(!-1\space\f{-1})(!3\space\f{3}) \gsave \psline(3,0)(-1,0) %\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] \fill[fillstyle=hlines,hatchsep=10pt,hatchwidth=1.4pt,hatchcolor=red] \grestore } \end{pspicture}$

Assez clairement, graphiquement, si

est affine alors les deux domaines, et leurs aires, coïncident. Il s'agit alors de le démontrer, et de montrer qu'on a ainsi toutes les fonctions qui vérifient la relation

.

Condition suffisante: Si

est une fonction affine alors elle est dérivable sur $\R$ et il existe $(a,b) \in \R^2$ tel que

. On calcule alros facilement les 2 membres de

, et on observe bien qu'ils sont égaux à $\dfrac{y-x}{2}\tm(a(x+y)+2b)$ et donc

vérifie

.

Réciproquement: Soit

dérivable sur $\R$ et vérifiant

est dérivable donc continue sur $\R$ et admet donc des primitives. Soit

une primitive de

, alors

s'écrit

$\forall (x,y) \in \R^2, F(y)-F(x) = \dfrac{y-x}{2} (f(x)+f(y))$

Fixons

et dérivons par rapport à

, on obtient par produit de fonctions dérivables :

$\begin{array}{ll}\forall y \in \R, &F'(y)=f(y) = \dfrac{1}{2} (f(x)+f(y)) + \dfrac{y-x}{2} f'(y)\\[1em] &\iff\dfrac{1}{2} (f(y)-f(x)) = \dfrac{y-x}{2} f'(y)\\[.8em] &\iff f(y)-f(x) = (y-x) f'(y) \enar$