Divergence de la série harmonique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Soit la suite
définie par
.
Montrer que, pour tout entier
,
.
En déduire la limite de
.
![$(h_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8/1.png)
![$h_n=\dsp\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8/2.png)
Montrer que, pour tout entier
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8/3.png)
![$h_{2n}-h_n\geqslant\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8/4.png)
En déduire la limite de
![$(h_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8/5.png)
Correction
,
.
La suite
est clairement strictement croissante
car
,
et donc d'après le théorème de limite monotone,
soit
est majorée et convergente vers un réel
,
soit
diverge vers
.
Supposons que
converge vers
,
alors
,
et alors, comme
,
on devrait avoir par passage à la limite,
,
ce qui est absurde.
Ainsi,
diverge vers
.
Correction
Pour tout![$n\in\N^*$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/1.png)
![$h_{2n}-h_n=\dsp\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k
\geqslant\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}=\dfrac{n}{2n}=\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/2.png)
La suite
![$(h_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/3.png)
![$h_{n+1}=\dsp\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac1k=h_n+\dfrac{1}{n+1}>h_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/4.png)
![$(h_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/5.png)
![$l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/6.png)
![$(h_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/7.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/8.png)
Supposons que
![$(h_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/9.png)
![$l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/10.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}h_n=\lim_{n\to+\infty}h_{2n}=l$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/11.png)
![$h_{2n}-h_n\geqslant\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/12.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}h_{2n}-h_n=l-l=0\geqslant\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/13.png)
Ainsi,
![$(h_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/14.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex8_c/15.png)
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