Divergence de la série harmonique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit la suite $(h_n)$ définie par $h_n=\dsp\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$.
Montrer que, pour tout entier $n$, $h_{2n}-h_n\geqslant\dfrac12$.
En déduire la limite de $(h_n)$.


Correction

Correction

On peut démontrer cette minoration de deux façons (au moins): par un calcul direct ou par récurrence.

Calcul direct. On cherche à minorer une somme de fractions, ou encore à majorer les dénominateurs de ces fractions,
\[h_{2n}-h_n=\dsp\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k\]

Pour chaque terme de cette somme, $k\leqslant 2n$ et donc $\dfrac1k\geqslant{2n}$, et ainsi, en sommant ces $n$ termes
\[\begin{array}{ll}h_{2n}-h_n&=\dsp\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k\\[1em] &\geqslant\dsp\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1{2n}=\dfrac{n}{2n}=\dfrac12\enar\]




Par récurrence. On note $u_n=h_{2n}-h_n$ et la propriété $P_n$: $u_n\geqslant12$ pour $n\geqslant1$
Initialisation: Pour $n=1$, $u_1=h_2-h_1=\dfrac12\geqslant12$ et la propriété est donc bien vraie initialement.

Hérédité: supposons que, pour un certain entier $n\geqslant1$, le propriété $P_n$: $u_n\geqslant12$ soit vraie.
Alors,
\[\begin{array}{ll}u_{n+1}&=h_{2n+1}-h_{n+1}\\[.8em] &=\dsp\sum_{k=1}^{2(n+1)}\dfrac1k-\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac1k\\[.7em] &=u_n+\dfrac1{2n+2}+\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{n+1} \enar\]

et donc, comme par hypothèse de récurrence $u_n\geqslant\dfrac12$, on a
\[u_{n+1}\geqslant\dfrac12+\dfrac1{2n+2}+\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{n+1}\]

Il reste donc à démontrer que cette dernière somme de fraction est positive:
\[\begin{array}{ll}\dfrac1{2n+2}+\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{n+1} &=\dfrac{(2n+1)(n+1)+(2n+2)(n+1)-(2n+2)(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)(n+1)}\\[.8em] &=\dfrac{(n+1)\Bigl((2n+1)+(2n+2)-2(2n+1) \Bigr)}{(2n+2)(2n+1)(n+1)}\\[.8em] &=\dfrac{(n+1)\Bigl( 1 \Bigr)}{(2n+2)(2n+1)(n+1)} > 0 \enar\]

et on a donc bien trouvé que
\[u_{n+1}\geqslant\dfrac12+0\]

c'est-à-dire que la propriété $P_{n+1}$ est aussi vraie.

Conclusion: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence que, pour tout entier $n\geqslant1$, on a $P_n$: $u_n=h_{2n}-h_n\geqslant\dfrac12$



La suite $(h_n)$ est clairement strictement croissante car
\[h_{n+1}-h_n=\dfrac1{n+1}>0\]

et donc d'après le théorème de limite monotone, soit $(h_n)$ est majorée et convergente vers un réel $l$, soit $(h_n)$ diverge vers $+\infty$.

Supposons que $(h_n)$ converge vers $l$, alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}h_n=\lim_{n\to+\infty}h_{2n}=l$, et alors, comme $h_{2n}-h_n\geqslant\dfrac12$, on devrait avoir par passage à la limite, $\dsp\lim_{n\to+\infty}h_{2n}-h_n=l-l=0\geqslant\dfrac12$, ce qui est absurde.

On en déduit finalement que $(h_n)$ diverge nécessairement vers $+\infty$.


Tags:SuitesSommesLimite

Autres sujets au hasard: Lancer de dés

Voir aussi:
LongPage: h2: 3 - h3: 0