Divergence de la série harmonique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit la suite $(h_n)$ définie par $h_n=\dsp\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$.
Montrer que, pour tout entier $n$, $h_{2n}-h_n\geqslant\dfrac12$.
En déduire la limite de $(h_n)$.


Correction

Correction

Pour tout $n\in\N^*$, $h_{2n}-h_n=\dsp\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k \geqslant\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}=\dfrac{n}{2n}=\dfrac12$.
La suite $(h_n)$ est clairement strictement croissante car $h_{n+1}=\dsp\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac1k=h_n+\dfrac{1}{n+1}>h_n$, et donc d'après le théorème de limite monotone, soit $(h_n)$ est majorée et convergente vers un réel $l$, soit $(h_n)$ diverge vers $+\infty$.
Supposons que $(h_n)$ converge vers $l$, alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}h_n=\lim_{n\to+\infty}h_{2n}=l$, et alors, comme $h_{2n}-h_n\geqslant\dfrac12$, on devrait avoir par passage à la limite, $\dsp\lim_{n\to+\infty}h_{2n}-h_n=l-l=0\geqslant\dfrac12$, ce qui est absurde.
Ainsi, $(h_n)$ diverge vers $+\infty$.


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