Déterminer les polynômes tels que … (ter)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Déterminer les polynômes de
tels que
.
![$\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22/1.png)
![$P\circ P=P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22/2.png)
Correction
est un polynôme non nul solution, alors le degré de
, et donc on doit avoir
![\[\deg(P)^2=\deg(P)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/3.png)
On en déduit que
ou
, c'est-à-dire que le polynôme
est de degré 1 ou 0.
Soit donc
, alors
![\[\begin{array}{lcl}
P\circ P(X)&=&a(aX+b)+b\\
&=&a^2X+(ab+b)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/8.png)
et on doit donc avoir
, soit
ou
, et
.
Si
, alors nécessairement
, tandis que si
,
alors
peut être quelconque.
Finalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme identité
.
Correction
Le polynôme nul est solution. Maintenant, si![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/1.png)
![$\deg(P\circ P)=\deg(P)^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/2.png)
![\[\deg(P)^2=\deg(P)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/3.png)
On en déduit que
![$\deg(P)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/4.png)
![$\deg(P)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/5.png)
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/6.png)
Soit donc
![$P(X)=aX+b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/7.png)
![\[\begin{array}{lcl}
P\circ P(X)&=&a(aX+b)+b\\
&=&a^2X+(ab+b)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/8.png)
et on doit donc avoir
![$a^2=a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/9.png)
![$a=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/10.png)
![$a=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/11.png)
![$ab=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/12.png)
Si
![$a=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/13.png)
![$b=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/14.png)
![$a=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/15.png)
![$b$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/16.png)
Finalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme identité
![$P(X)=X$](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exDeterminerP22_c/17.png)
Tag:Polynôme
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