Droites coplanaires, sécantes, …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Géométrie dans l'espaceGéométrie dans l'espace
Énoncé du sujet
Soit
un réel. On considère les droites
et
.
![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom3D/ex7/1.png)
![$D_1: \la\begin{array}{ll}x+y=2\\ y-2z=3\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom3D/ex7/2.png)
![$D_2: \la\begin{array}{ll}x+y+z=1\\x-2y+3z=a\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom3D/ex7/3.png)
-
et
sont-elles parallèles?
- Déterminer
pour qu'elles soient coplanaires.
Donner alors les coordonnées du point d'intersection deet
et une équation du plan contenant
et
.
Correction
un réel. On considère les droites
et
.
Correction
Soit![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom3D/ex7_c/1.png)
![$D_1: \la\begin{array}{ll}x+y=2\\ y-2z=3\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom3D/ex7_c/2.png)
![$D_2: \la\begin{array}{ll}x+y+z=1\\x-2y+3z=a\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom3D/ex7_c/3.png)
-
et
sont deux vecteurs orthogonaux de
dont un vecteur directeur est donc
.
De même pourdirigée par
.
Commeet
ne sont pas colinéaires,
et
ne sont pas parallèles.
- Ces droites sont donc coplanaires si et seulement si elles
sont sécantes. Soit
l'éventuel point d'intersection, alors
.
En soutrayant la 1ère équation à la 3ème, on obtient, et alors la 2ème fournit
, puis la 1ère
. Enfin, la dernière donne alors que les droites sont sécantes en
si et seulement si
.
Un vecteur normal au plan contenantet
est donné par
, donc
, et comme
, on obtient
d'où
Tag:Géométrie dans l'espace
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