Tangente commune à une parabole et une hyperbole
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Montrer que les courbes d'équations
et
admettent une tangente commune.


Correction
de la courbe d'équation
a pour équation
,
et celle en
de la courbe d'équation
a pour équation
.
Pour qu'une tangente soit commune, il faut et suffit donc que
![\[\la\begin{array}{l}
2a=-\dfrac{1}{b^2}\\[.8em]
-a^2=\dfrac2b\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
a=-\dfrac{1}{2b^2}\\[.8em]
-\dfrac{1}{4b^4}=\dfrac2b
\iff-b=8b^4
\iff 8b^4+b=b(8b^3+1)=0
\enar\right.
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/7.png)
On trouve ainsi
, ce qui est impossible,
ou
et donc
.
Correction
La tangente en





Pour qu'une tangente soit commune, il faut et suffit donc que
![\[\la\begin{array}{l}
2a=-\dfrac{1}{b^2}\\[.8em]
-a^2=\dfrac2b\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
a=-\dfrac{1}{2b^2}\\[.8em]
-\dfrac{1}{4b^4}=\dfrac2b
\iff-b=8b^4
\iff 8b^4+b=b(8b^3+1)=0
\enar\right.
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/extg2_c/7.png)
On trouve ainsi



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