Série presque géométrique

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit $x\in ]-1,1[$ . Calculer $\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$ .

Correction

On pense à la série géométrique, pour

$\sum_{k=0}^n x^k=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$

On dérive cette égalité (on a une somme finie, c'est-à-dire un polynôme, donc bien dérivable) :

$\sum_{k=1}^n kx^{k-1}=\dfrac{-(n+1)x^n(1-x)+(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}$

puis, on revient à la somme qui nous intéresse:

$\begin{array}{ll}\dsp\sum_{k=0}^{n}kx^k&=x\dsp\sum_{k=1}^n kx^{k-1}\\[1.4em] &\hspace{-3em}=x\dfrac{-(n+1)x^n(1-x)+(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}\enar$

et il reste à prendre la limite, avec, comme

, donc $x^n\to0$ et $nx^n\to0$ , d'où

$\begin{array}{ll}\dsp\sum_{k=1}^{+\infty}kx^k&=\dsp\lim_{n\to+\infty}\dsp\sum_{k=0}^{n}kx^k\\[1.4em] &=\dfrac{x}{(1-x)^2}\enar$

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