Diagonalisabilité et base de polynômes propres


Oral ESCP, BL - 2021
Soit $m$ un entier naturel non nul. On considère l'espace vectoriel $\R_m[x]$ des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à $m$ et l''application $f$ associant à tout polynôme $P$ de $\R_m[x]$, le polynôme $Q=f(P)$ défini par
\[Q(x)=m(x-1)P(x)-x(x-1)P'(x)\]

pour tout réel $x$, et où $P'$ désigne le polynôme dérivé de $P$.
  1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\R_m[x]$.
  2. Montrer que si $P$ est un vecteur propre de $f$, alors 0 ou 1 sont racines de $P$.
  3. Pour tout entier naturel $k\leqslant m$, on note $W_k$ la fonction polynomiale de $\R_m[x]$ définie par:
    \[W_k(x)=x^k(x-1)^{m-k}\]

    Montrer que pour tout $k$, $W_k$ est un vecteur propre de $f$.
  4. Quelles sont les valeurs propres de l'endomorphisme $f$ ? L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
  5. Montrer que $(W_0, W_1, \dots, W_n)$ est une base de $\R_m[x]$ et déterminer les composantes du polynôme constant $U(x)=1$ dans cette base.

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