Encadrements sommes et intégrales

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

On pose, pour $n\geq 1$ , $u_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1k$ et $v_n=u_n-\ln n$ .

Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, on a $\dfrac{1}{k+1}\leqslant\dsp\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leqslant \dfrac1k$ .
En déduire que pour tout entier $n\geqslant2$ , on a $u_n-1\leqslant\ln n\leqslant u_n-\dfrac 1n$ et $0\leqslant v_n\leq 1$ .
Démontrer que pour tout entier naturel non nul, $v_{n+1}-v_n=\dfrac1{n+1}-\dsp\int_n^{n+1}\dfrac{dx}x$ .
En déduire que la suite converge vers une limite $\gamma$ (que l'on ne cherchera pas à calculer).
Que dire de ?

Correction

La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est décroissante sur l'intervalle et donc on a, pour tout $x\in [k,k+1]$ ,

$\dfrac1{k+1}\leqslant\dfrac1x\leqslant\frac1k$

En intégrant ces inégalités, on obtient

$\dfrac1{k+1}=\int_k^{k+1}\dfrac1{k+1}dt \leqslant\int_k^{k+1}\dfrac1xdx \leqslant\int_k^{k+1}\frac 1k dt=\dfrac1k$
En sommant les inégalités précédentes pour allant de à , le membre de droite de l'inégalité est

$1+\frac 12+\dots+\dfrac1{n-1}=u_n-\dfrac1n$

Le membre au milieu est alors

$\int_1^2\frac 1xdx+\int_2^3\frac 1xdx+\dots+\int_{n-1}^n \frac 1xdx =\int_1^n \frac 1x dx=\ln n$

Enfin, le membre de gauche est

$\frac 12+\frac13+\dots+\frac 1n=u_n-1$

On a ainsi obtenu la première inégalité demandée.

De plus $u_n-1\leq \ln n$ donc $v_n=u_n-\ln n\leq 1$ .
L'autre inégalité $\ln n\leq u_n-\frac 1n\leq u_n$ donne $v_n=u_n-\ln n\geq 0$ .
On a

$v_{n+1}-v_n=\dfrac1{n+1}-(\ln (n+1)-\ln n) =\frac 1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x$
D'après la question a) et la précédente, on a donc obtenu que $v_{n+1}-v_n\leqslant0$ et donc que la suite est décroissante.
Comme elle est de plus minorée par 0, on en déduit qu'elle est convergente.
Par ailleurs, de $u_n\geqslant\ln n+\dfrac 1n$ on déduit que tend vers $+\infty$ .

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