Endomorphisme qui conserve l'orthogonalité

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit

un espace euclidien de dimension

, muni du produit scalaire $\langle \cdot , \cdot \rangle$ et de la norme associée $\| \cdot \|$ .
Soit

un endomorphisme de

qui vérifie

$\forall (x,y)\in E^2\, , \, \langle x , y \rangle=0 \implies \langle f(x) , f(y) \rangle=0$

Montrer que si et sont des vecteurs de même norme, alors et sont orthogonaux.
Montrer qu'il existe un réel positif tel que, pour tout vecteur unitaire $x\in E$ , on a $\|f(x)\|=k$ .
Montrer que, pour tout $x\in E$ , $\|f(x)\|=k\|x\|$ .

Correction

On a, en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire

$\begin{array}{ll}\langle x-y , x+y\rangle &= \|x\|^2+\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle - \|y\|^2\\ &=\|x\|^2-\|y\|^2\\ &=0\enar$

pour des vecteurs et de même norme.
Soit un vecteur unitaire $x\in E$ , c'est-à-dire que $\|x\|=1$ , et posons $k=\|f(x)\|$ .
Soit alors $y\in E$ un autre vecteur unitaire, et montrons que $\|f(y)\|=\|f(x)\|=k$ .

Comme et sont tous les deux unitaires, ils ont en particulier la même norme, et donc, d'après la question précédente,

$\langle x-y , x+y\rangle=0$

et donc, par hypothèse sur ,

$\langle f(x-y) , f(x+y)\rangle=0$

En utilisant alors la linéarité de et la bilinéarité du produit scalaire, on obtient

$\begin{array}{ll} 0&=\langle f(x-y) , f(x+y)\rangle\\ &=\|f(x)\|^2+\langle f(x) , f(y)\rangle -\langle f(y) , f(x)\rangle -\|f(y)\|^2 \enar$

et donc, par symétrie du produit scalaire,

$\|f(x)\|=\|f(y)\|=k$
Pour tout vecteur unitaire on a donc $\|f(x)\|=k$ .
Soit $y\in E$ . Si , on a directement donc $\|f(y)\|=k\|y\|=0$ .
Pour $y\not=0$ , on se ramène au cas précédent d'un vecteur unitaire en posant $z=\dfrac1{\|y\|}y$ qui est unitaire et donc, d'après la question précédente,

$\|f(z)\|=\left\|f\lp\dfrac1{\|y\|}y\rp\right\| =\dfrac1{\|y\|}f(y)=k$

et ainsi,

$\|f(y)\|=k\|y\|$

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