Endomorphisme qui conserve l'orthogonalité


Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, muni du produit scalaire $\langle \cdot , \cdot \rangle$ et de la norme associée $\| \cdot \|$.
Soit $f$ un endomorphisme de $E$ qui vérifie
\[\forall (x,y)\in E^2\, , \, \langle x , y \rangle=0
\implies \langle f(x) , f(y) \rangle=0\]


  1. Montrer que si $x$ et $y$ sont des vecteurs de même norme, alors $x-y$ et $x+y$ sont orthogonaux.
  2. Montrer qu'il existe un réel positif $k$ tel que, pour tout vecteur unitaire $x\in E$, on a $\|f(x)\|=k$.
  3. Montrer que, pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|=k\|x\|$.

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