Système d'équations différentielles
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
Énoncé du sujet
Résoudre le système d'équations différentielles:
![\[\la\begin{array}{ll}
x'=2x-y\\[.6em]
y'=-x+2y\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff/1.png)
avec
et 
.
avec
et .
Correction
et 
,
alors 
et le système s'écrit
.
On sait alors que la solution de cette équation différentielle est
.
Il reste donc à calculer l'exponentielle de matrice:
![\[\exp(At)=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{(At)^n}{n!}
=\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}A^nt^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/6.png)
et donc les puissances de la matrice
.
On peut à cette fin diagonaliser
(qui est une matrice symétrique réelle,
donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de
est
![\[\begin{array}{ll}
\chi_A(X)&=\det(XI-A)=\left|\begin{array}{cc}X-2 & 1\\1 & X-2\enar\right| \\[1.2em]
&=(X-2)^2-1^2=(X-1)(X-3)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/10.png)
Ainsi,
admet deux valeurs propres 1 et 3.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 1:
.
Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par
.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 3:
.
Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par
.
On a alors
avec la matrice diagonale
et la matrice de passage
et son inverse
.
On obtient alors,
![\[\begin{array}{ll}
A^n&=\left( PDP^{-1}\rp^n \\[.5em]
&= PDP^{-1}\,PDP^{-1}\,\dots PDP^{-1}\\[.5em]
&=PD^nP^{-1} \\[.5em]
&=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right)
\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3^n\enar\right)
\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) \\[1em]
&=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1+3^n & 1-3^n\\1-3^n&1+3^n \enar\rp\\[1em]
&=\dfrac12E+3^nF
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/20.png)
avec les matrices
et 
On trouve alors enfin,
![\[\begin{array}{ll}\exp(At)
&=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}A^nt^n \\[1.4em]
&=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{t^n}{n!}\lp\dfrac12E+3^nF\right) \\[1.6em]
&=\dsp\lp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{t^n}{n!}\rp\dfrac12E
+\lp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{3^nt^n}{n!}\right) F \\[1.6em]
&=\dfrac12e^tE+e^{3t}F
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/23.png)
puis en revenant aux solutions du système différentiel:
avec 
,
donc
soit finalement,
![\[\la\begin{array}{ll}
x(t)&=\dfrac32e^t-e^{3t}\\
y(t)&=\dfrac32e^t+e^{3t}
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/27.png)
Correction
On pose
et ,
alors
et le système s'écrit
.
On sait alors que la solution de cette équation différentielle est
.
Il reste donc à calculer l'exponentielle de matrice:
et donc les puissances de la matrice
.
On peut à cette fin diagonaliser
(qui est une matrice symétrique réelle,
donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de
est
Ainsi,
admet deux valeurs propres 1 et 3.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 1:
.
Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par
.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 3:
.
Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par
.
On a alors
avec la matrice diagonale
et la matrice de passage
et son inverse
.
On obtient alors,
avec les matrices
et
On trouve alors enfin,
puis en revenant aux solutions du système différentiel:
avec ,
donc
soit finalement,
Tags:Équation différentielleDiagonalisation
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