Système d'équations différentielles
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
Énoncé du sujet
Résoudre le système d'équations différentielles:
![\[\la\begin{array}{ll}
x'=2x-y\\[.6em]
y'=-x+2y\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff/1.png)
avec
et
.
![\[\la\begin{array}{ll}
x'=2x-y\\[.6em]
y'=-x+2y\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff/1.png)
avec
![$x(0)=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff/2.png)
![$y(0)=2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff/3.png)
Correction
et
,
alors
et le système s'écrit
.
On sait alors que la solution de cette équation différentielle est
.
Il reste donc à calculer l'exponentielle de matrice:
![\[\exp(At)=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{(At)^n}{n!}
=\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}A^nt^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/6.png)
et donc les puissances de la matrice
.
On peut à cette fin diagonaliser
(qui est une matrice symétrique réelle,
donc en particulier bien diagonalisable).
Le polynôme caractéristique de
est
![\[\begin{array}{ll}
\chi_A(X)&=\det(XI-A)=\left|\begin{array}{cc}X-2 & 1\\1 & X-2\enar\right| \\[1.2em]
&=(X-2)^2-1^2=(X-1)(X-3)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/10.png)
Ainsi,
admet deux valeurs propres 1 et 3.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 1:
.
Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par
.
Sous-espace propre associé à la valeur propre 3:
.
Le sous-espace propre est de dimension 1, engendré par
.
On a alors
avec la matrice diagonale
et la matrice de passage
et son inverse
.
On obtient alors,
![\[\begin{array}{ll}
A^n&=\left( PDP^{-1}\rp^n \\[.5em]
&= PDP^{-1}\,PDP^{-1}\,\dots PDP^{-1}\\[.5em]
&=PD^nP^{-1} \\[.5em]
&=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right)
\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3^n\enar\right)
\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) \\[1em]
&=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1+3^n & 1-3^n\\1-3^n&1+3^n \enar\rp\\[1em]
&=\dfrac12E+3^nF
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/20.png)
avec les matrices
et
On trouve alors enfin,
![\[\begin{array}{ll}\exp(At)
&=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}A^nt^n \\[1.4em]
&=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{t^n}{n!}\lp\dfrac12E+3^nF\right) \\[1.6em]
&=\dsp\lp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{t^n}{n!}\rp\dfrac12E
+\lp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{3^nt^n}{n!}\right) F \\[1.6em]
&=\dfrac12e^tE+e^{3t}F
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/23.png)
puis en revenant aux solutions du système différentiel:
avec
,
donc
soit finalement,
![\[\la\begin{array}{ll}
x(t)&=\dfrac32e^t-e^{3t}\\
y(t)&=\dfrac32e^t+e^{3t}
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/27.png)
Correction
On pose![$A=\lp\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/1.png)
![$X(t)=\lp\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/2.png)
![$X'=\lp\begin{array}{c}x'\\y'\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/3.png)
![$X'=AX$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/4.png)
On sait alors que la solution de cette équation différentielle est
![$X(t)=\exp\left( At\right) X(0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/5.png)
Il reste donc à calculer l'exponentielle de matrice:
![\[\exp(At)=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{(At)^n}{n!}
=\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}A^nt^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/6.png)
et donc les puissances de la matrice
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/7.png)
On peut à cette fin diagonaliser
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/8.png)
Le polynôme caractéristique de
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/9.png)
![\[\begin{array}{ll}
\chi_A(X)&=\det(XI-A)=\left|\begin{array}{cc}X-2 & 1\\1 & X-2\enar\right| \\[1.2em]
&=(X-2)^2-1^2=(X-1)(X-3)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/10.png)
Ainsi,
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/11.png)
Sous-espace propre associé à la valeur propre 1:
![$(I-A)X=0\iff\la\begin{array}{ll}-x+y=0\\x-y=0\enar\right.
\iff x=y$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/12.png)
![$e_1\lp\begin{array}{c}1\\1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/13.png)
Sous-espace propre associé à la valeur propre 3:
![$(3I-A)X=0\iff\la\begin{array}{ll}x+y=0\\x+y=0\enar\right.
\iff x=-y$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/14.png)
![$e_2\lp\begin{array}{c}1\\-1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/15.png)
On a alors
![$A=PDP^{-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/16.png)
![$D=\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/17.png)
![$P=\left( e_1 e_2\rp=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/18.png)
![$P^{-1}=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/19.png)
On obtient alors,
![\[\begin{array}{ll}
A^n&=\left( PDP^{-1}\rp^n \\[.5em]
&= PDP^{-1}\,PDP^{-1}\,\dots PDP^{-1}\\[.5em]
&=PD^nP^{-1} \\[.5em]
&=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right)
\lp\begin{array}{cc}1&0\\0&3^n\enar\right)
\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\enar\right) \\[1em]
&=\dfrac12\lp\begin{array}{cc}1+3^n & 1-3^n\\1-3^n&1+3^n \enar\rp\\[1em]
&=\dfrac12E+3^nF
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/20.png)
avec les matrices
![$E=\lp\begin{array}{cc}1&1\\1&1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/21.png)
![$F=\lp\begin{array}{cc}1&-1\\-1&1\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/22.png)
On trouve alors enfin,
![\[\begin{array}{ll}\exp(At)
&=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}A^nt^n \\[1.4em]
&=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{t^n}{n!}\lp\dfrac12E+3^nF\right) \\[1.6em]
&=\dsp\lp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{t^n}{n!}\rp\dfrac12E
+\lp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{3^nt^n}{n!}\right) F \\[1.6em]
&=\dfrac12e^tE+e^{3t}F
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/23.png)
puis en revenant aux solutions du système différentiel:
![$X=\exp(At)X(0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/24.png)
![$X(0)=\lp\begin{array}{c}x(0)\\y(0)\enar\rp=\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/25.png)
![$X=\dfrac12e^tE\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp+E^{3t}F\lp\begin{array}{c}1\\2\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/26.png)
![\[\la\begin{array}{ll}
x(t)&=\dfrac32e^t-e^{3t}\\
y(t)&=\dfrac32e^t+e^{3t}
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/exSysEqDiff_c/27.png)
Tags:Équation différentielleDiagonalisation
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