Développement en série entière d'une fonction


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction $x\mapsto\ln(a+x)$ avec $a>0$.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.


Correction

Correction

On factorise par $a$:
\[\ln(x+a)=\ln\Bigl(a\lp1+\dfrac{x}{a}\rp\Bigr)=\ln(a)+\ln\lp1+\dfrac{x}{a}\rp\]

Pour $|x/a|<1$, soit $|x|<a$, on en déduit
\[\ln(x+a)=\ln(a)+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}x^n}{na^n}\]

Le rayon de convergence de la série entière obtenue est $a$.


Tag:Séries entières

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