Matrice d'un endomorphisme sans sous-espace stable
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
Énoncé du sujet
Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie supérieure ou égale à 2. On suppose que et sont les seuls sous-espaces vectoriels de stables par .
- possède-t-il des valeurs propres ?
- Démontrer que pour tout , la famille est une base de .
- Donner la matrice de dans la base .
Cette matrice dépend-elle du choix de ?
Correction
Correction
- Si admettait un vecteur propre , alors serait un sous-espace de stable par différent de et de , ce qui est impossible.
- Imaginons que la famille soit liée.
Alors il existe et des scalaires tels que
On vérifie alors que l'espace vectoriel est stable par . - Soit des scalaires tels que
La matrice de dans la base est alors
Soit maintenant . On a donc comme précédemment que est une base de . Les premières colonnes de la matrice de dans cette base sont les mêmes que la matrice précédentes. Il reste à regarder de plus près la dernière colonne, c'est-à-dire l'expression de dans cette base.
Comme est une base de , il existe des (uniques) coefficients , , … , tels que
et alors
Or, pour tout entier , on a
On a alors
et on retrouve donc les mêmes coefficients pour la dernière colonne: la matrice ne dépend donc pas du choix de .
Tag:Diagonalisation
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