Matrice diagonalisable ?

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

La matrice $A=\lp\begin{array}{ccc} \pi&1&2\\ 0&\pi&3\\ 0&0&\pi \end{array}\rp$ est-elle diagonalisable ?

Correction

Les valeurs propres de

sont directement ses éléments diagonaux car elle est triangulaire supérieure. Ainsi,

a une seule valeur propre: $\pi$ .
Maintenant, si

était diagonalisable, alors elle serait semblable à $\pi I_3$ , c'est-à-dire qu'il existerait une matrice $P\in GL_3(\R)$ telle que

$A=P(\pi I_3)P^{-1}$

et donc, puisque

commute avec toutes les matrices, on aurait

$A=\pi I_3 PP^{-1}=\pi I_3$

Ce n'est pas le cas, et on en déduit donc que

n'est donc pas diagonalisable.

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