Matrice diagonalisable ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
La matrice
est-elle diagonalisable ?
est-elle diagonalisable ?
Correction
sont directement ses éléments diagonaux
car elle est triangulaire supérieure.
Ainsi, 
a une seule valeur propre: 
.
Maintenant, si
était diagonalisable, alors elle serait semblable
à 
, c'est-à-dire qu'il existerait une matrice
telle que
![\[A=P(\pi I_3)P^{-1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex02_c/7.png)
et donc, puisque
commute avec toutes les matrices, on aurait
![\[A=\pi I_3 PP^{-1}=\pi I_3\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/ex02_c/9.png)
Ce n'est pas le cas, et on en déduit donc que
n'est donc pas diagonalisable.
Correction
Les valeurs propres de sont directement ses éléments diagonaux
car elle est triangulaire supérieure.
Ainsi, a une seule valeur propre: .
Maintenant, si
était diagonalisable, alors elle serait semblable
à , c'est-à-dire qu'il existerait une matrice
telle que
et donc, puisque
commute avec toutes les matrices, on aurait
Ce n'est pas le cas, et on en déduit donc que
n'est donc pas diagonalisable.
Tags:DiagonalisationMatrices
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