Matrice imaginaire


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Pour un entier $n\geqslant1$, on note $M_n(\R)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes, $n$ colonnes et à coefficients réels. On note $I_n$ la matrice identité de $M_n(\R)$.
Soit $M\in M_2(\R)$ une matrice telle que $M^2=-I_2$.
  1. La matrice $M$ possède-t-elle des valeurs propres ?
  2. Quel est le rang de $M$ ?
  3. Soit $x$ un vecteur non nul et $u$ l'endomorphisme de $\R^2$ canoniquement associé à $M$.
    Montrer que $(x, u(x))$ est une base de $\R^2$ et donner la matrice de $u$ dans cette base.
  4. Trouver toutes les matrices $A\in M_3(\R)$ telles que $A^2=-I_3$.



Correction

Correction

Oral ENS ULM - 2021

  1. Soit $\lambda$ une valeur propre de $M$, alors il existe un vecteur non nul $X$ tel que $MX=\lambda X$.
    En multipliant par $M$, on a alors, $M^2X=-I_2X=-X=\lambda MX=\lambda^2 X$, et donc, nécessairement $\lambda^2=-1$ car $X\not=0$.
    C'est impossible (dans $\R$), et donc $M$ n'a pas de valeur propre.
  2. Comme $M^2=M\,M=-I_2$, on a aussi $M(-M)=I_2$, ce qui montre $M$ est inversible (d'inverse $-M$), et en particulier que $\text{rg}(M)=n=2$.

    On aurait aussi pu s'intéresser au noyau: soit $X\in\ker(M)$, alors $MX=0$ donc $M^2X=-I_2X=-X=0$, d'où $\ker(M)=\la0\ra$, et on arrive à la même conclusion.
  3. Comme on a deux vecteurs dans un espace de dimension 2, il suffit de montrer que cette famille est libre.
    Soit $a$ et $b$ avec $ax+bu(x)=0$, alors, en appliquant $u$ on obtient $au(x)+bu^2(x)=au(x)-bx=0$, d'où le système
    \[\la\begin{array}{rcrcl} ax&+&bu(x)&=&0\\ -bx&+&au(x)&=&0 \enar\right.\]

    Si $a=0$, la deuxième équation donne aussi $b=0$, car $x\not=0$.
    Si $a\not=0$, la combinaison $L_1\leftarrow aL_1-bL_2$ donne $\left( a^2+b^2\right) x=0$ soit $a^2+b^2=0$, car $x\not=0$, et donc $a=b=0$: la famille est libre et forme donc une base de $\R^2$.
    Dans cette base $\left( e_1=x , e_2=u(x)\rp$, on a $u(e_1)=u(x)=e_2$ et $u(e_2)=u^2(x)=-x=-e_1$, d'où la matrice dans cette base
    \[\lp\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\enar\rp\]

  4. En raisonnant comme précédemment, une telle matrice n'admet pas de valeur propre, est de rang 3 (c'est-à-dire inversible), et si $x\not=0$, alors $(x,v(x))$ est une famille libre (avec $v$ l'endomorphisme canoniquement associé).
    On complète cette base pour en obtenir une de $\R^3$, et dans celle-ci, la matrice s'écrit
    \[A'=\lp\begin{array}{ccc}0&-1&\alpha\\1&0&\beta\\0&0&\gamma\enar\rp\]

    Maintenant, $A'-\gamma I_3$ n'est pas inversible, c'est-à-dire que $\gamma$ est une valeur propre de $A'$, donc de $A$, ce qui est impossible.
    On en conclut qu'il n'existe pas de telle matrice.

    Remarque: sans revenir aux valeurs propres, une fois qu'on a obtenu la forme nécéssaire $A'$ pour de telles matrices, il suffit de calculer
    \[A'^2=\lp\begin{array}{ccc}-1&0&\dots\\0&-1&\dots\\0&0&\gamma^2\enar\rp\]

    et donc pour avoir $A^2=-I_3$, il faut nécessairement avoir $\gamma^2=-1$, ce qui est impossible.


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