Formule des probabilités composées
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Probabilités conditionnelles - indépendanceProbabilités conditionnelles - indépendance
Énoncé du sujet
- Énoncer et démontrer la formule des probabilités composées.
- Une urne contient initialement 7 boules noires et 3 boules blanches.
On tire successivement 3 boules : si on tire une noire, on l'enlève, si on tire une blanche, on la retire, et on ajoute une noire à la place.
Quelle est la probabilité de tirer 3 blanches à la suite ?
Correction
Correction
- Formule des probabilités composées: soit
,
, … ,
des événements tels que
, alors
Démonstration: On démontre cette propriété par récurrence sur le nombred'événements.
Pour, la propriété est tautologique, et pour
,
est la définition même de la probabilité conditionnelle.
Si on suppose maintenant la propriété vraie au rang, alors au rang suivant
:
en utilisant la propriété pour deux événements, et qui nous fournit le résultat en utilisant l'hypothèse de récurrence.
- On note
l'événement "La i-ème boule tirée est blanche". La probabilité recherchée est
, soit avec la formule des probabilités composées:
On a d'abord.
Lorsqueest réalisé, l'urne est constituée avant le 2ème tirage 8 boules noires et 2 blanches et donc
.
Enfin, lorsqueet
sont réalisés, l'urne contient avant le 3ème tirage 9 boules noires et 1 boule blanche et donc
.
On trouve donc
Tag:Probabilités conditionnelles - indépendance
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