Calcul de limite: composées de radicaux
Colle de mathématiques
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.
.
Correction
![\[\begin{array}{ll}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}
&=\sqrt{x+\sqrt{x\lp1+\dfrac1{\sqrt{x}}\right)}}\\[1.4em]
&=\sqrt{x+\sqrt{x}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}}\\[1.4em]
&=\sqrt{x\lp1+\dfrac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}\right)}\\[1.4em]
&=\sqrt{x}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/ex11_c/1.png)
soit, en posant
, et en développant au permier ordre,
![\[\begin{array}{ll}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\dfrac1u\sqrt{1+u\sqrt{1+u}}
&=\dfrac1u\sqrt{1+u\lp1+\dfrac12u+o(u)\right)}\\[1em]
&=\dfrac1u\sqrt{1+u+\dfrac12u^2+o\left( u^2\right)}\\[1em]
&=\dfrac1u\lp1+\dfrac12u+o(u)\rp\\[1em]
&=\dfrac1u+\dfrac12+o(1)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/ex11_c/3.png)
et on trouve alors la limite recherchée:
![\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}
=\lim_{u\to0}\dfrac1u\sqrt{1+u\sqrt{1+u}}-\dfrac1u
=\dfrac12\]](/Generateur-Devoirs/Colles/DL/ex11_c/4.png)
Correction
On asoit, en posant
, et en développant au permier ordre,
et on trouve alors la limite recherchée:
Tags:DLLimite
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