Intégrale trigonométrique

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Calculer l'intégrale $I=\dsp\int_0^\pi \sin^3x\cos^2x\,dx$

Correction

On peut procéder suivant (au moins) deux méthodes.
Formule d'Euler.
On peut commencer par écrire

$\begin{array}{ll}I &=\dsp\int_0^\pi \sin^3x\cos^2x\,dx\\[1em] &=\dsp\int_0^\pi \sin^3x\lp1-\sin^2x\rp\,dx\\[1em] &=\dsp\int_0^\pi\sin^3x\,dx-\int_0^\pi\sin^5x\,dx\enar$

puis, avec la formule d'Euler et la formule du binôme de Newton:

$\begin{array}{ll}\sin^3x&=\lp\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}2\rp^3\\[1em] &=\dfrac1{2^3}\left( e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{ix}-e^{-3i}\right) \enar$

puis, en regroupant les termes, et à nouveau la formule d'Euler,

$\sin^3x=\dfrac1{2^2}\lp\sin(3x)-3\sin(x)\rp$

De même,

$\begin{array}{ll}\sin^5(x)&=\lp\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}2\rp^5\\[1.2em] &=\dfrac1{2^5}\left( e^{5ix}-5e^{3ix}+10e^{ix}-10e^{-ix}+5e^{-3ix}-e^{-5ix}\rp\\[1em] &=\dfrac1{2^4}\lp\sin(5x)-5\sin(3x)+10\sin(x)\rp\enar$

On a alors,

$\begin{array}{lcl}I&=&\dsp\int_0^\pi\sin^3x\,dx-\int_0^\pi\sin^5x\,dx\\[1em] &=&\dfrac1{2^2}\Bigl[-\dfrac{\cos(3x)}3+3\cos(x)\Bigr]_0^\pi \\[1em] &&-\dfrac1{2^4}\Bigl[-\dfrac{\cos(5x)}{5}+5\dfrac{\cos(3x)}3-10\cos(x)\Bigr]_0^\pi\\[1.4em] &=&\dfrac4{15} \enar$

Changement de variable.
Comme la fonction $f:x\mapsto\sin^3x\cos^2x$ est impaire, il est judicieux d'effectuer le changement de variable $u=\cos x$ .
On a alors, $du=-\sin x\,dx$ et

$\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_0^\pi \cos^2 x \sin^2x\sin x\,dx\\[1em] &=-\dsp\int_1^{-1} u^2\lp1-u^2\rp\,du\\[1em] &=\dsp\int_{-1}^1u^2\,du-\int_{-1}^1u^4\,du\\[1em] &=\dsp2\int_0^1u^2\,du-2\int_0^1u^4\,du\\[1em] &=\dsp2\Bigl[\dfrac{u^3}3\Bigr]_0^1-2\Bigl[\dfrac{u^5}5\Bigr]_0^1\\[1em] &=\dfrac23-\dfrac25=\dfrac4{15} \enar$

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