Suite implicite: racine d'une suite de fonctions

Pour tout $n\in\N^*$ on pose $f_n(x)=e^{-nx}-x$ .

Montrer que l'équation admet une unique solution positive. On la notera $\alpha_n$ .
Montrer que pour tout entier $n\geqslant0$ et tout réel $x\geqslant0$ on a $f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x)$ .
En déduire que la suite $\alpha$ est décroissante.
Monter qu'elle converge vers une limite .
Montrer que n'est pas strictement positive. Donner alors la valeur de .
Montrer que $n\alpha_n\to+\infty$ .

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