Suite implicite: racine d'une suite de fonctions


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Pour tout $n\in\N^*$ on pose $f_n(x)=e^{-nx}-x$.
  1. Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution positive. On la notera $\alpha_n$.
  2. Montrer que pour tout entier $n\geqslant0$ et tout réel $x\geqslant0$ on a $f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x)$.
  3. En déduire que la suite $\alpha$ est décroissante.
  4. Monter qu'elle converge vers une limite $l$.
  5. Montrer que $l$ n'est pas strictement positive. Donner alors la valeur de $l$.
  6. Montrer que $n\alpha_n\to+\infty$.



Correction

Correction

  1. $f_n$ est dérivable sur $\R$ avec pour tout réel $x$, $f_n'(x)=-ne^{-nx}-1$. Or $e^{-nx}>0$ et donc $f_n'(x)<-1<0$ d'où $f_n$ est strictement décroissante sur $\R$ et donc aussi sur $\R_+$.
    De plus $f(0)=1$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty$; ainsi $f$ est une bijection de $\R_+$ sur $]-\infty;1]$. En particulier, il existe un unique réel $\alpha_n\in]-\infty;1]$ tel que $f_n\lp\alpha_n\rp=0$.
  2. Pour tout $x\geqslant0$, on a
    \[\begin{array}{ll} f_{n+1}(x)-f_n(x) &=\left( e^{-(n+1)x}-x\rp-\left( e^{-nx}-x\rp\\[.6em] &=e^{-nx}\left( e^{-x}-1\rp\enar\]

    Or, pour tout réel $x\geqslant0$, $e^{-nx}>0$ et $e^{-x}\leqslant1$, d'où
    \[f_{n+1}(x)-f_n(x)\leqslant0\iff f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x)\]

  3. On a donc, pout tout $n\geqslant0$, $f_{n+1}\lp\alpha_n\rp\leqslant f_n\lp\alpha_n\rp=0=f_{n+1}\lp\alpha_{n+1}\rp$.
    Comme $f_{n+1}$ est décroissante on obtient donc $\alpha_n\geqslant\alpha_{n+1}$, ce qui montre que la suite $\alpha$ est décroissante.
  4. La suite $\alpha$ est une suite de nombres positifs, donc minorée par $0$. Elle est de plus décroissante. On en déduit qu'elle converge vers une limite $l$.
  5. Supposons $l>0$
    $f_n\lp\alpha_n\rp=e^{-n\alpha_n}-\alpha_n=0$, et on donc $\alpha_n=e^{-n\alpha_n}$.
    Si $l>0$, on a alors $n\alpha_n\to+\infty$ et alors $e^{-n\alpha_n}\to0$, ce qui est contradictoire avec $e^{-n\alpha_n}=\alpha_n\to l>0$.
    Ainsi, $l$ ne peut pas être strictement positif.
    Comme $\alpha_n\geqslant0$, on a nécessairement par ailleurs $l\geqslant0$.
    On en déduit que $l=0$.
  6. Comme précédemment, on a $\alpha_n=e^{-n\alpha_n}\to0$.
    Ainsi, $n\alpha_n=-\ln\lp\alpha_n\rp\to+\infty$.


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