Exponentielle itérées

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit $f:\R\to\R,\, x\mapsto e^{-x}e^{-e^{-x}}$ .

Montrer que f est une densité de probabilité.
Soit une variable admettant pour densité. Déterminer la loi de et son espérance.
Établir que possède une espérance.

Correction

est clairement positive et continue et de plus

$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x}e^{-e^{-x}}dx =\left[ e^{-e^{-x}}\rb_{-\infty}^{+\infty}=1-0=1$

ce qui finit de montrer que est bien une densité de probabilité.
On a $Y(\Omega)=\R_+^*$ et, pour ,

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq-\ln(y))=1-F_X(-\ln(y)) =e^{-y}$

d'où suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(1)$ .
On a alors directement aussi .
$E(X)=E(-\ln(Y)) =\int_0^{+\infty}-ln(y)e^{-y}dy$

Il s'agit d'une intégrale généralisée, d'une fonction continue sur $]0;+\infty[$ .
Il reste donc à vérifier que cette intégrale converge aussi en 0 et $+\infty$ .

En 0, on a

$-\ln(y)e^{-y}\sim -\ln(y)$

qui est intégrable en 0 (ce qu'on peut redémontrer en utilisant une primitive $y\mapsto y\ln(y)-y$ de $\ln(y)$ ).

En $+\infty$ , on a par croissances comparées

$\lim_{y\to+\infty}y^2\lp-\ln(y)e^{-y}\rp=0$

c'est-à-dire que

$-\ln(y)e^{-y}\underset{+\infty}{=}o\lp\dfrac1{y^2}\rp$

et est donc convergente par comparaison avec une intégrale de Riemann (avec $\alpha=2>1$ ).

Ainsi l'intégrale existe et l'espérance aussi.

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