Convergence de deux suites dont le produit converge


Colle de mathématiques

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Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels de $[0;1]$ telles que $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_nv_n=1$.
Montrer que ces deux suites convergent vers 1.


Correction

Correction

On a, pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$, et de même, $0\leqslant v_n\leqslant 1$.
On a alors aussi, pour le produit, $0\leqslant u_nv_n\leqslant u_n \leqslant 1$.
Comme $u_nv_n\to1$, on a, d'après le théorème des gendarmes, $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=1$.
En inversant les rôles de $u_n$ et $v_n$, on obtient le même résultat pour la convergence de $(v_n)$.


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