Série alternée: récurrence et convergence


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Pour tout entier $n$, on pose $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k k$.
  1. Montrer que, pour tout entier $n$, $S_n=\dfrac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}$.
  2. Étudier la convergence de $(S_n)$.



Correction

Correction

  1. On peut démontrer ce résultat par récurrence. Pour $n=0$, $S_0=\dsp\sum_{k=0}^n(-1)^kk=(-1)^0\tm0=0$ et $\dfrac{(-1)^0(2\tm0+1)-1}{4}=0$ aussi, ce qui montre que la propriété est vraie initialement.
    Supposons maintenant que cette propriété soit vraie à un certain rang $n$, soit $S_n=\dfrac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}$.
    Au rang suivant, on a alors, $S_{n+1}=\dsp\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^kk=S_n+(-1)^{n+1}(n+1)$, soit, en utilisant l'hypothèse de récurrence,
    \[\begin{array}{ll} S_{n+1}&\dsp=\dfrac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}+(-1)^{n+1}(n+1)\\[1em] &\dsp=\dfrac{(-1)^{n+1}\left( -2n-1+4(n+1)\rp-1}{4}\\[1em] &\dsp=\dfrac{(-1)^{n+1}\left( 2n+3\rp-1}{4}\\[1em] &\dsp=\dfrac{(-1)^{n+1}\left( 2(n+1)+1\rp-1}{4} \enar\]

    ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang suivant.
    D'après le principe de récurrence, on peut donc en conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
  2. D'après le résultat précédent, on a donc que $S_{2n}=\dfrac{n}{2}$ diverge vers $+\infty$, et $S_{2n+1}=\dfrac{-n-1}{2}$ diverge vers $-\infty$.
    Ainsi la suite $\left( S_n\rp$ est divergente.


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