Étude avec fonctions trigonométriques réciproques

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit

la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\cos(\arctan(2x+1))$ .

Étudier le sens de variation de , ses limites en $\pm\infty$ .
Montrer que la restriction de à $[-1/2,+\infty[$ admet une fonction réciproque dont on précisera l'ensemble de définition.
Calculer puis $g'(\sqrt 2/2)$ .

Correction

Le sens de variation de est donné par le signe de sa dérivée:

$f'(x)=\frac{-2}{1+(2x+1)^2}\sin(\arctan(2x+1))$

On a $\arctan(2x+1)\in]-\pi/2,\pi/2[$ , et par ailleurs $\sin u$ est du signe de pour $u\in]-\pi/2,\pi/2[$ , est donc du signe opposé à $\arctan(2x+1)$ .
Mais,

$\arctan(2x+1)\geq 0\iff 2x+1\geq 0\iff x\geq -1/2$

Ainsi, est croissante sur $]-\infty,-1/2[$ et décroissante sur $]-1/2,+\infty[$ .

D'autre part, par composition des limites

$\begin{array}{ll}\dsp\lim_{x\to +\infty}2x+1=+\infty &\Longrightarrow\dsp\lim_{x\to+\infty}\arctan(2x+1)=\pi/2\\[.8em] &\Longrightarrow\dsp\lim_{x\to+\infty}\cos(\arctan(2x+1))=0\enar$

On trouve le même résultat en $-\infty$ :

$\lim_{x\to-\infty}\cos(\arctan(2x+1))=\cos\lp-\dfrac\pi2\rp=0$
D'après la première question, on a si . Ainsi, est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[-1/2,+\infty[$ .
On a de plus $f(-1/2)=\cos(0)=1$ et $\dsp\lim_{+\infty}f=0$ .
réalise donc une bijection de $[-1/2,+\infty[$ sur . Elle admet en particulier une fonction réciproque définie sur , et à valeurs dans $[-1/2,+\infty[$ .
Puisque ne s'annule pas sur $]-1/2,+\infty[$ , est de classe sur .
En plus, en dérivant la relation, pour tout ,

$g\left( f(x)\rp=x \Longrightarrow f'(x)g'\left( f(x)\rp$

d'où,

$g'(f(x))=\dfrac1{f'(x)}$

Or $\dfrac{\sqrt 2}2=\dfrac 1{\sqrt 2}=f(0)$ . et donc

$g'(\sqrt 2/2)=\frac1{f'(0)}=\frac1{-1\times\sin(\pi/4)}=-\sqrt 2$

Tag:Dérivée

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