Étude avec fonctions trigonométriques réciproques
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Soit
la fonction définie sur
par
.



- Étudier le sens de variation de
, ses limites en
.
- Montrer que la restriction de
à
admet une fonction réciproque
dont on précisera l'ensemble de définition.
- Calculer
puis
.
Correction
Correction
- Le sens de variation de
est donné par le signe de sa dérivée:
On a, et par ailleurs
est du signe de
pour
,
est donc du signe opposé à
.
Mais,
Ainsi,est croissante sur
et décroissante sur
.
D'autre part, par composition des limites
On trouve le même résultat en:
- D'après la première question,
on a
si
. Ainsi,
est continue et strictement décroissante sur l'intervalle
.
On a de pluset
.
réalise donc une bijection de
sur
. Elle admet en particulier une fonction réciproque
définie sur
, et à valeurs dans
.
- Puisque
ne s'annule pas sur
,
est de classe
sur
.
En plus, en dérivant la relation, pour tout,
d'où,
Or. et donc
Tag:Dérivée
Autres sujets au hasard:

Voir aussi: