Estimation de pièces défectueuses produites
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- VA: inégalités & estimationVariables aléatroire: inégalités & estimation
Énoncé du sujet
Estimation de pièces défectueuses produites
[.4em] Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue
est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de
. On effectue un prélèvement de
pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de
tirages indépendants avec remise. On note
la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que
approche
.
[.4em] Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-pieces-defectueuses/1.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-pieces-defectueuses/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-pieces-defectueuses/3.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-pieces-defectueuses/4.png)
![$X_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-pieces-defectueuses/5.png)
![$X_n/n$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-pieces-defectueuses/6.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAIE/Estim-pieces-defectueuses/7.png)
- Quelle est la loi de
? Sa moyenne? Sa variance?
- Démontrer que, pour tout
,
- En déduire une condition sur
pour que
soit une valeur approchée de
à
près avec une probabilité supérieure ou égale à
.
Correction
Correction
-
est la somme de
variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre
, et donc
suit une loi binomiale
et
et
.
- L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit
Or,
On applique donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avecet on obtient
De plus, sur, la fonction
admet un maximum égal à
en
, d'où le résultat voulu.
- On cherche
tel que
soit encore, en passant à l'événement contraire
Il suffit donc de choisirtel que
.
Tag:VA: inégalités & estimation
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