Estimation de pièces défectueuses produites

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Estimation de pièces défectueuses produites
[.4em] Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue

est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de

. On effectue un prélèvement de

pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de

tirages indépendants avec remise. On note

la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que

approche

Quelle est la loi de ? Sa moyenne? Sa variance?
Démontrer que, pour tout $\varepsilon>0$ , $P\lp\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon\rp\leqslant\dfrac 1{4n\varepsilon^2}.$
En déduire une condition sur pour que soit une valeur approchée de à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$ .

Correction

est la somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre , et donc suit une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ et et .
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit

$P(|X_n-E(X_n)|\geqslant a)\leqslant\dfrac{V(X_n)}{a^2}$

Or,

$\left|\frac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon \iff|X_n-np|\geqslant n\varepsilon\iff |X_n-E(X_n)|\geq n\varepsilon$

On applique donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a=n\varepsilon$ et on obtient

$P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon\Bigr) \leqslant\dfrac {p(1-p)}{n\varepsilon^2}$

De plus, sur , la fonction $x\mapsto x(1-x)$ admet un maximum égal à en , d'où le résultat voulu.
On cherche tel que

$P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\leqslant10^{-2}\Bigr)\geqslant0,95$

soit encore, en passant à l'événement contraire

$P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant 10^{-2}\Bigr)\leqslant 0,05$

Il suffit donc de choisir tel que

$\dfrac{1}{4n10^{-4}}\leqslant0,05\iff n\geqslant 5\cdot 10^4$

.

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