Projecteur somme de projecteurs, noyau et image
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
- Applications linéairesApplications linéaires
- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
et
deux projecteurs d'un espace vectoriel
.
Montrer que
Dans le cas où
est un projecteur, montrer que
et que
.



![\[\begin{array}{ll}\left( p + q \text{ projecteur}\right) &\iff \left( p\circ q=q\circ p=0\right)\\[.5em]
&\iff\Bigl(\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)\text{ et }\text{Im}(q)\subset\text{Ker}(p)\Bigr)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4/4.png)



Correction
est un projecteur lorsque
,
or, en développant l'identité remarquable, et comme
et
sont des projecteurs,
donc
et
,
![\[\begin{array}{ll}(p+q)^2&=(p+q)\circ(p+q)\\[.5em]
&=p^2+q^2+p\circ q+q\circ p\\[.5em]
&=p+q+p\circ q+q\circ p\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/7.png)
Ainsi, si
on a bien que
est un projecteur.
Réciproquement, si
est un projecteur,
alors on doit avoir
.
En appliquant
à cette relation, et comme
est un projecteur,
on obtient
![\[\begin{array}{ll}
p\circ\left( p\circ q+q\circ p\right)
&=p^2\circ q+p\circ q\circ p\\[.5em]
&=p\circ q+p\circ q\circ p=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/14.png)
soit
,
tandis qu'en appliquant
on obtient
![\[\begin{array}{ll}
q\circ\left( p\circ q+q\circ p\right)
&=q\circ p\circ q+q^2\circ p\\[.5em]
&=q\circ p\circ q+q\circ p=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/17.png)
soit
,
De ces deux derniers résultats, on déduit que
![\[p\circ q\circ p=-p\circ q=-q\circ p$,
et ainsi $p\circ q=q\circ p$.
\medskip
En r\'esum\'e, si $p+q$ est un projecteur,
on a n\'ecessairement, $p\circ q+q\circ p=0 \iff p\circ q=-q\circ p$
et aussi $p\circ q=q\circ p$.
Ceci implique que $p\circ q=q\circ p=0$.
\medskip
Enfin, $p\circ q=0 \iff \lp\forall x\in E, p(q(x))=0\rp\iff \text{Im}(q)\subset{Im}(q)$
et de m\^eme en inversant les r\^oles de $p$ et $q$, d'o\`u le r\'esultat
\[\begin{array}{ll}\left( p + q \text{projecteur}\right) &\iff \left( p\circ q=q\circ p=0\right)\\[.5em]
&\iff\left( \text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)\text{ et }\text{Im}(q)\subset\text{Ker}(p)\rp\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/19.png)
On suppose maintenant que
est un projecteur, ou de manière maintenant équivalente
.
On a simplement, si
alors
,
c'est-à-dire
.
Montrons l'inclusion inverse: soit
tel que
.
On a alors, en appliquant
,
, or
,
ce qui implique donc
.
De même, en appliquant
à
, on obtient
,
et ainsi
,
d'où l'inclusion
.
On a donc prouvé finalement que
.
De même pour les images: on a directement
.
Montrons l'inclusion inverse. Soit
En appliquant
on obtient
![\[\begin{array}{ll}
(p+q)(y)&=p^2\left( x_1\rp+q\left( p\left( x_1\rp\rp
+p\left( q\left( x_2\rp\rp+q^2\left( x_2\rp \\[.5em]
&=p\left( x_1\rp+q\left( x_2\rp\\[.5em]
&=y\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/40.png)
car
,
et
.
et on a donc obtenu, pour
,
donc
donc
.
Finalement, on a donc obtenu
![\[\text{Im}(p)+\text{Im}(q)=\text{Im}(p+q)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/48.png)
Correction






![\[\begin{array}{ll}(p+q)^2&=(p+q)\circ(p+q)\\[.5em]
&=p^2+q^2+p\circ q+q\circ p\\[.5em]
&=p+q+p\circ q+q\circ p\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/7.png)
Ainsi, si


Réciproquement, si


En appliquant


![\[\begin{array}{ll}
p\circ\left( p\circ q+q\circ p\right)
&=p^2\circ q+p\circ q\circ p\\[.5em]
&=p\circ q+p\circ q\circ p=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/14.png)
soit

tandis qu'en appliquant

![\[\begin{array}{ll}
q\circ\left( p\circ q+q\circ p\right)
&=q\circ p\circ q+q^2\circ p\\[.5em]
&=q\circ p\circ q+q\circ p=0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/17.png)
soit

De ces deux derniers résultats, on déduit que
![\[p\circ q\circ p=-p\circ q=-q\circ p$,
et ainsi $p\circ q=q\circ p$.
\medskip
En r\'esum\'e, si $p+q$ est un projecteur,
on a n\'ecessairement, $p\circ q+q\circ p=0 \iff p\circ q=-q\circ p$
et aussi $p\circ q=q\circ p$.
Ceci implique que $p\circ q=q\circ p=0$.
\medskip
Enfin, $p\circ q=0 \iff \lp\forall x\in E, p(q(x))=0\rp\iff \text{Im}(q)\subset{Im}(q)$
et de m\^eme en inversant les r\^oles de $p$ et $q$, d'o\`u le r\'esultat
\[\begin{array}{ll}\left( p + q \text{projecteur}\right) &\iff \left( p\circ q=q\circ p=0\right)\\[.5em]
&\iff\left( \text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)\text{ et }\text{Im}(q)\subset\text{Ker}(p)\rp\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/19.png)
On suppose maintenant que


On a simplement, si



Montrons l'inclusion inverse: soit


On a alors, en appliquant




De même, en appliquant





On a donc prouvé finalement que

De même pour les images: on a directement

Montrons l'inclusion inverse. Soit

En appliquant

![\[\begin{array}{ll}
(p+q)(y)&=p^2\left( x_1\rp+q\left( p\left( x_1\rp\rp
+p\left( q\left( x_2\rp\rp+q^2\left( x_2\rp \\[.5em]
&=p\left( x_1\rp+q\left( x_2\rp\\[.5em]
&=y\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/40.png)
car



et on a donc obtenu, pour




Finalement, on a donc obtenu
![\[\text{Im}(p)+\text{Im}(q)=\text{Im}(p+q)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP4_c/48.png)
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