Projecteur somme de projecteurs, noyau et image
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
- Applications linéairesApplications linéaires
- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit et deux projecteurs d'un espace vectoriel .
Montrer que
Dans le cas où est un projecteur, montrer que et que .
Dans le cas où est un projecteur, montrer que et que .
Correction
Ainsi, si on a bien que est un projecteur.
Réciproquement, si est un projecteur, alors on doit avoir .
En appliquant à cette relation, et comme est un projecteur, on obtient
soit ,
tandis qu'en appliquant on obtient
soit ,
De ces deux derniers résultats, on déduit que
On suppose maintenant que est un projecteur, ou de manière maintenant équivalente .
On a simplement, si alors , c'est-à-dire .
Montrons l'inclusion inverse: soit tel que .
On a alors, en appliquant , , or , ce qui implique donc .
De même, en appliquant à , on obtient , et ainsi , d'où l'inclusion .
On a donc prouvé finalement que .
De même pour les images: on a directement .
Montrons l'inclusion inverse. Soit
En appliquant on obtient
car , et .
et on a donc obtenu, pour , donc donc .
Finalement, on a donc obtenu
Correction
est un projecteur lorsque , or, en développant l'identité remarquable, et comme et sont des projecteurs, donc et ,Ainsi, si on a bien que est un projecteur.
Réciproquement, si est un projecteur, alors on doit avoir .
En appliquant à cette relation, et comme est un projecteur, on obtient
soit ,
tandis qu'en appliquant on obtient
soit ,
De ces deux derniers résultats, on déduit que
On suppose maintenant que est un projecteur, ou de manière maintenant équivalente .
On a simplement, si alors , c'est-à-dire .
Montrons l'inclusion inverse: soit tel que .
On a alors, en appliquant , , or , ce qui implique donc .
De même, en appliquant à , on obtient , et ainsi , d'où l'inclusion .
On a donc prouvé finalement que .
De même pour les images: on a directement .
Montrons l'inclusion inverse. Soit
En appliquant on obtient
car , et .
et on a donc obtenu, pour , donc donc .
Finalement, on a donc obtenu
Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel
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