Somme trigonométrique & binomiale

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

ComplexesNombres complexs
SommesSommes des termes d'une suite

Énoncé du sujet

Calculer $\dsp\sum_{k=0}^n \lp\begin{array}{c}n\\k\enar\rp\cos(kx)$

Correction

$\begin{array}{ll} \dsp\sum_{k=0}^n \lp\begin{array}{c}n\\k\enar\rp\cos(kx) &=\dsp\Re e\left( \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\enar\right) e^{ikx}\right)\\[2em] &=\Re e\lp\lp 1+e^{ix}\rp^n\rp\\[1em] &=\Re e\left( e^{inx/2}\left( e^{-ix/2}+e^{ix/2}\rp^n\rp\\[1em] &=\Re e\left( e^{inx/2} \left( 2\cos(x/2)\rp^n\rp\\[1em] &=2^n\cos(nx/2)\cos^n(x/2) \enar$

Tags:Complexes Sommes

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