Racine carrée d'une loi exponentielle (bis)


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

HEC B/L - 2022 - Exercice sans préparation.
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ paire et continue sur $\R$. On suppose que $X^2$ suit la loi exponentielle de paramètre $a>0$.
  1. On note $F_X$ la fonction de répartition de $X$. Montrer que pour tout réel $x$, $F_X(-x)=1-F_X(x)$.
  2. Déterminer $f$. $X$ admet-elle une espérance ?



Correction

Correction

oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
  1. On démontre ce résultat avec un changement de variable $u=-t$ dans l'intégrale définissant la fonction de répartition et en utilisant la parité de la fonction densité $f$:
    \[\begin{array}{ll}F_X(-x)&=\dsp\int_{-\infty}^{-x}f(t)dt\\ &=\dsp\int_{+\infty}^xf(-u)(-du)\\ &=\dsp\int_x^{+\infty}f(u)du\\ &=1-F_X(x)\enar\]

    en utilisant pour finir
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)du=1\]

    et la relation de Chasles pour les intégrales.
  2. Soit la variable aléatoire $Y=X^2$. On passe par sa fonction de répartition, pour $x\geqslant 0$,
    \[\begin{array}{ll}F_Y(x)&=P(Y\leqslant x)\\ &=P(X^2\leqslant x)\\ &=P(-\sqrt{x}\leqslant X\leqslant \sqrt{x})\\ &=F_X(\sqrt{x})-F_X(-\sqrt{x})\enar\]

    et donc, avec le résultat de première question
    \[F_Y(x)=F_X(\sqrt{x})-\left( 1-F_X(\sqrt{x})\right) =2F_X(\sqrt{x})-1\]

    On sait de plus que $Y$ suit la loi exponentielle de param-tre $a$ et donc que
    \[F_Y(x)=1-e^{-ax}\]

    d'où on tire
    \[2F_X(\sqrt{x})-1=1-e^{-ax} \iff F_X(\sqrt{x})=1-\dfrac12e^{-ax}\]

    et alors
    \[F_X(x)=1-\dfrac12e^{-ax^2}\]



    Pour $x\leqslant0$, on a
    \[F_X(x)=1-F_X(-x)=\dfrac12e^{ax^2}\]


    Pour revenir à la densité, on dérive finalement:
    • pour $x\geqslant0$, $f(x)=ae^{-ax^2}$
    • pour $x\leqslant0$, $f(x)=-ae^{-ax^2}$

    L'espérance de $X$ est, si elle existe,
    \[E(X)=\int_\R xf(x)dx=\lim_{A\to+\infty}\int_{-A}^Axf(x)dx\]

    or $f$ est paire, donc $x\mapsto xf(x)$ est impaire, et donc, pour tout $t$,
    \[\int_{-A}^Axf(x)dx=0\]

    et donc $E(X)=0$.


Tag:Variables aléatoires continues

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