Application linéaire sur des polynômes de degré 2 ? Noyau et image ?


Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

  1. L'application $f:\R_2[X]\to \R^2,\ P\mapsto \big(P(1),P'(1)\big)$ est-elle linéaire ? Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
  2. L'application $g:\R_2[X]\to \R^3,\ P\mapsto \big(P(1),P'(1),P''(1)\big)$ est-elle linéaire ? Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?



Correction

Correction

  1. Soit $P,Q\in\R_2[X]$ et $\lambda\in\R$, alors d'après les propriétés de linéarité de la dérivation (justement !) $(P+Q)'(1)=P'(1)+Q'(1)$ et $(\lambda P)'(1)=\lambda P'(1)$ on déduit directement que $f(P+Q)=f(P)+f(Q)$ et que $f(\lambda P)=\lambda f(P)$, c'est-à-dire que $f$ est une application linéaire.

    Soit $P\in\R_2[X]$ tel que $f(P)=0\iff P(1)=P'(1)=0$. Ainsi 1 est une racine double de $P$ qui peut donc se factorise par $(X-1)^2$.
    Comme $P$ est de degré 2, on en déduit que
    \[\text{Ker}(f)=\Bigl\{ a(X-1)^2\,;\,a\in\R\Bigr\}\]


    En particulier, $f$ n'est pas injective, et donc pas bijective.

    Pour étudier l'image, soit $(\alpha,\beta)\in\text{Im}(P)\subset\R^2$, on cherche $P\in\R_2[X]$ tel que $\alpha=P(1)$ et $\beta=P'(1)$.
    Il suffit de prendre par exemple $P(X)=\beta(X-1)+\alpha$.
    Ainsi, $f$ est surjective.
  2. Comme à la question précédente, l'application est linéaire.
    Son noyau est cette fois réduit au polynôme nul, car un polynôme de degré 2 non nul ne peut avoir une racine triple. On en déduit d'une part que l'application est injective, et, d'autre part grâce au théorème du rang, que
    \[\text{rg}(f)=\text{dim}\lp\text{Im}(f)\rp=3\]

    et donc que $f$ est aussi surjective.
    $f$ est donc aussi bijective.


Tags:Applications linéairesPolynôme

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