Projections orthogonales
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
un espace vectoriel euclidien, et
deux projecteurs orthogonaux.
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/projortho/1.png)
![$p,q\in\mathcal L(E)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/projortho/2.png)
- Montrer que, pour tout
, on a
.
-
Montrer que
si et seulement si, pour tout
,
Correction
Correction
- On écrit la décomposition orthognale
sur
:
avec, par le théorème de Pythagore,
d'où le résultat
- Supposons que pour tout
,
.
Soit, c'est-à-dire
et alors on a
, d'où
et donc
.
On vient donc de montrer que.
Réciproquement, supposons maintenant que.
Soitqu'on décompose suivant la projection
, soit
avec
et
alors
et
car.
Orest une projection orthogonale, donc, d'après la question précédente,
d'où ici
Tags:Espaces euclidiensProjecteurs
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