Diagonalisabilité d'une application linéaire entre polynomes
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
- Soit et deux réels et
une fonction de classe qui vérifie,
pour tout ,
Montrer qu'il existe une constante telle que, pour tout , .
[.6em] Indication: on pourra considérer la fonction définie par - Soit un entier et l'application
- Montrer que est un endomorphisme de .
- Soit .
Montrer qu'il existe deux réels et
(qui dépendent de et )
tels que
- Montrer que est diagonalisable.
Correction
Correction
- Soit .
En prenant le logarithme, on a
et alors, en dérivant,
et alors,
On obtient donc que
et donc, soit , soit donc .
En revenant à la définition de , on a donc , qui est le résultat souhaité sur .
Remarque: on peut aussi directement dériver la fonction . -
- Par linéarité de la dérivée, l'application est aussi linéaire.
De plus, si , alors
avec
et alors
les termes de degré s'annulent, et le polynôme est donc de degré , soit , ce qui finit de montrer que est bien un endomorphisme de - Il suffit de mettre sur le même dénominateur:
et on doit donc avoir
- Soit une valeur propre de , alors
il existe un polynôme non nul tel que
soit, d'après la question précédent,
et alors, d'après la première question, il existe une constante tel que
Maintenant, cette expression est un polynôme de degré au plus lorsque et sont des entiers tels que , et . D'après la question précédente, la troisième relation est assurée, tandis que les deux autres s'écrivent: et . En résumé, doit être un entier tel que
Il y a tels entiers, qui est aussi la dimension de . Ainsi, n' que des valeurs propres simples, et est diagonalisable.
- Par linéarité de la dérivée, l'application est aussi linéaire.
De plus, si , alors
avec
et alors
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