Diagonalisabilité d'une application linéaire entre polynomes

$A$

$B$

$f:]0;1[\to\R$

$\mathcal{C}^1$

$x\in]0;1[$

\[f

$C$

$x\in]0;1[$

$f(x)=Cx^A(x-1)^B$

$g(x)=\dfrac{f(x)}{x^A(x-1)^B}$

$n\geqslant2$

$\phi$

$\phi:\la\begin{array}{cll}\R_n[X]&\to&\R_n[X]\\[.4em]
  P&\mapsto&X(X-1)P

$\phi$

$\R_n[X]$

$\lambda\in\R$

$A_\lambda$

$B_\lambda$

$\lambda$

$n$

\[\forall x\in]0;1[\,, \ 
    \dfrac{n(x+1)+\lambda}{x(x-1)}=\dfrac{A_\lambda}{x}+\dfrac{B_\lambda}{x-1}\]

$\phi$