Projecteur composé de projecteurs
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
- Applications linéairesApplications linéaires
- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
et
deux endomorphismes d'un espace vectoriel
tels que
et
sont des projecteurs.
Montrer que
est aussi un projecteur.
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1/1.png)
![$q$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1/2.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1/3.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1/4.png)
![$p\circ q$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1/5.png)
Montrer que
![$p\circ q\circ p$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1/6.png)
Correction
et
sont des projecteurs,
on a
et
et alors
![\[\begin{array}{ll}
\left( p\circ q\circ p\rp^2
&=\left( p\circ q\circ p\rp\circ \left( p\circ q\circ p\rp\\[.7em]
&=p\circ q\circ p^2\circ q\circ p\\[.7em]
&=p\circ q\circ p\circ q\circ p\\[.7em]
&=\left( p\circ q\rp^2\circ p\\[.7em]
&=p\circ q\circ p
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/5.png)
et donc
est bien un projecteur.
Correction
Comme![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/1.png)
![$p\circ q$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/2.png)
![$p^2=p\circ p=p$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/3.png)
![$\left( p\circ q\rp^2=p\circ q\circ p\circ q=p\circ q$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/4.png)
et alors
![\[\begin{array}{ll}
\left( p\circ q\circ p\rp^2
&=\left( p\circ q\circ p\rp\circ \left( p\circ q\circ p\rp\\[.7em]
&=p\circ q\circ p^2\circ q\circ p\\[.7em]
&=p\circ q\circ p\circ q\circ p\\[.7em]
&=\left( p\circ q\rp^2\circ p\\[.7em]
&=p\circ q\circ p
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/5.png)
et donc
![$p\circ q\circ p$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exP1_c/6.png)
Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel
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