Projecteur composé de projecteurs


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $p$ et $q$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ tels que $p$ et $p\circ q$ sont des projecteurs.
Montrer que $p\circ q\circ p$ est aussi un projecteur.


Correction

Correction

Comme $p$ et $p\circ q$ sont des projecteurs, on a $p^2=p\circ p=p$ et $\left( p\circ q\rp^2=p\circ q\circ p\circ q=p\circ q$
et alors
\[\begin{array}{ll} \left( p\circ q\circ p\rp^2 &=\left( p\circ q\circ p\rp\circ \left( p\circ q\circ p\rp\\[.7em] &=p\circ q\circ p^2\circ q\circ p\\[.7em] &=p\circ q\circ p\circ q\circ p\\[.7em] &=\left( p\circ q\rp^2\circ p\\[.7em] &=p\circ q\circ p \enar\]

et donc $p\circ q\circ p$ est bien un projecteur.


Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel

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